Comment fonctionne un détecteur de métaux

Cet exercice de 4 points du bac S Métropole rattrapage 2010 suit deux élèves qui construisent un détecteur de métaux. Son principe repose sur l'inductance d'une bobine, qui change à l'approche d'un métal, et sur un oscillateur dont la fréquence dépend de cette inductance. L'exercice étudie d'abord la bobine dans un circuit RL, puis l'oscillateur LC, avant de conclure sur la recherche de métaux sur la plage. Le dipôle RL et le circuit LC ne figurent plus au programme actuel, mais les méthodes restent les mêmes.

Partie 1 : la bobine dans un circuit RL

D'après la loi d'Ohm, u_R = Ri : la courbe de u_R donne celle de l'intensité à un facteur constant près. Sur la courbe (a), le régime transitoire dure jusqu'à environ 7 ms, puis u_R reste proche de 3,15 V : c'est le régime permanent. La bobine s'oppose aux variations du courant, pas au courant lui-même : une fois l'intensité constante, elle se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r, et u_B = ri. L'analyse dimensionnelle montre que τ = L/(R + r) est homogène à un temps. La lecture à 63 % de la valeur finale, soit 2,0 V, donne τ_a ≈ 1,2 ms et τ_b ≈ 2,4 ms. Comme R et r ne changent pas, L_b/L_a = τ_b/τ_a = 2,0 : l'inductance double à l'approche du fer, ce qui vérifie l'information du texte.

Partie 2 : l'oscillateur LC

Avec les orientations de la figure, u_L = L di/dt et i = C du_C/dt ; le signe dépend de l'orientation, qu'il faut toujours vérifier sur le schéma. La loi d'additivité des tensions conduit à d²u_C/dt² + u_C/(LC) = 0, et l'identification avec l'équation de l'énoncé donne T₀ = 2π√(LC). Sur l'enregistrement, deux périodes séparent les maximums de t = 0 et t = 100 µs, d'où T₀ = 50 µs. Avec L = 20 mH, on obtient C = 3,1 × 10^-9 F, soit 3,1 nF, en exprimant L en henrys et T₀ en secondes, sans oublier de l'élever au carré.

Partie 3 : recherche de métaux

Près d'un objet en or, l'inductance diminue, donc la fréquence propre augmente au-dessus de 20 kHz. Sur la plage, la fréquence mesurée vaut 15 kHz : elle a diminué, donc L a augmenté. Les élèves n'ont pas trouvé d'or, mais un métal qui augmente l'inductance, comme le fer. Le piège est de s'arrêter au constat que la fréquence a changé : c'est son sens de variation qui permet de trancher.

Conseils pour réussir

Mesure plusieurs périodes plutôt qu'une seule pour gagner en précision, garde deux chiffres significatifs pour une lecture graphique et raisonne toujours sur le sens de variation des grandeurs. Le corrigé détaillé reprend toutes les lectures graphiques sur l'annexe.