De la batterie à l'étincelle : un exercice complet

L'exercice 2 du bac S Centres étrangers 2007, noté sur 6,5 points (environ 1 h 18 conseillée), suit le chemin de l'énergie dans le système d'allumage d'une voiture. La première partie porte sur la batterie au plomb, qui fonctionne en pile au démarrage et en électrolyseur pendant la recharge. La seconde étudie le circuit qui contient la bobine primaire, modélisé par un circuit RL soumis à une tension continue de 12 V.

Partie 1 : la batterie au plomb

Demi-équations et fonctionnement en pile

Il faut d'abord écrire les demi-équations des couples Pb²⁺/Pb et PbO₂/Pb²⁺, la seconde en milieu acide en équilibrant l'oxygène avec l'eau puis l'hydrogène avec les ions H⁺. Sur l'annexe, on flèche ensuite les porteurs de charge : dans les fils, les électrons vont de l'électrode de plomb vers celle recouverte de dioxyde de plomb ; dans la solution, les cations migrent vers l'électrode recouverte de PbO₂ et les anions sulfate vers l'électrode de plomb. Le piège est de faire circuler des électrons dans la solution, où seuls les ions transportent la charge. En combinant oxydation du plomb et réduction du dioxyde de plomb, on justifie l'équation de démarrage proposée.

La recharge, une transformation forcée

Pendant la recharge, le générateur impose au système d'évoluer en sens inverse de son sens spontané : la transformation est forcée et le courant change de sens. L'équation de recharge est l'inverse de celle du démarrage. L'électrode de plomb, où arrivent les électrons, devient le siège d'une réduction et joue le rôle de cathode ; l'électrode recouverte de PbO₂ est l'anode. Garder les noms du fonctionnement en pile est l'erreur la plus fréquente : l'anode reste toujours le siège de l'oxydation.

Partie 2 : la bobine d'allumage

Équation différentielle et solution

En convention récepteur, la tension aux bornes de la bobine s'écrit u = r i + L di/dt. La loi des mailles conduit à L di/dt + K i = E avec K = R + r. En reportant la solution proposée dans l'équation, on identifie A = E/K et B = K/L, ce qui donne une intensité limite de 4,0 A. Le test de la valeur initiale et de la valeur limite permet d'écarter les courbes 1 et 3 et de retenir la courbe 2.

Constante de temps, inductance et énergie

La constante de temps se lit à 63 % de l'intensité finale, soit 2,5 A, ce qui donne τ = 10 µs. Son expression τ = L/(R + r) fournit L = 3,0 × 10⁻⁵ H, à condition de convertir les microsecondes en secondes. L'énergie maximale emmagasinée, ½ L I², vaut 2,4 × 10⁻⁴ J.

Former l'étincelle

Pour finir, on compare deux courbes de décroissance du courant : la courbe 5, dont la tangente à l'origine est la plus inclinée, donne la plus grande valeur absolue de la variation d'intensité, donc la tension la plus élevée au secondaire et l'étincelle la plus facile à obtenir.

Conseils

Cet exercice demande de passer de la chimie à l'électricité : soignez les schémas fléchés, nommez toujours le sens spontané ou forcé, et vérifiez les unités avant chaque application numérique. Le corrigé détaillé reprend chaque question, schémas complétés à l'appui.