Mesurer l'inductance d'une bobine artisanale : deux méthodes à comparer

Cet exercice de 4 points du bac S 2011 en Asie se traite en 52 minutes environ. Tony, guitariste, enroule lui-même une bobine pour sa pédale d'effet wha-wha et souhaite une inductance de 0,50 H. Il la mesure d'abord avec un signal triangulaire, puis avec les oscillations d'un circuit LC, avant d'étudier les échanges d'énergie. L'exercice fait travailler la relation u = L di/dt, la loi des mailles et la lecture de courbes.

Première méthode : un courant triangulaire

Sur le document 2, deux maximums successifs de l'intensité sont séparés de 2,0 ms : c'est la période du GBF, dont la fréquence vaut 5,0 × 10² Hz. Le piège est de garder la période en millisecondes dans le calcul de f. Pour obtenir i(t), le logiciel divise par R la tension u_AM, en tenant compte du signe : i = -u_AM/R. Sur chaque demi-période la courbe est un segment de droite, d'où l'écriture i(t) = at + b.

En convention récepteur et sans résistance interne, u_BM = L di/dt. La modélisation donne di/dt = 1,19 A·s^-1 entre 3,0 ms et 4,0 ms, et avec u_BM = 0,26 V on trouve L = 0,22 H. Le corrigé suggère de vérifier l'ordre de grandeur de la pente directement sur le document 2. La valeur est inférieure aux 0,50 H recherchés : Tony doit encore ajouter des spires.

Seconde méthode : les oscillations électriques

La loi des mailles, la relation de la bobine et i = C du_c/dt conduisent à l'équation différentielle d²u_c/dt² + u_c/(LC) = 0. L'amplitude de u_c diminue au cours du temps : le régime est pseudo-périodique. Pour mesurer précisément la pseudo-période, on repère six pseudo-périodes entre le maximum initial et le sixième maximum, atteint à 26,6 ms, ce qui donne T ≈ 4,4 ms. Compter les intervalles et non les maximums évite une erreur fréquente.

L'amortissement étant faible, on assimile la pseudo-période à la période propre T₀ = 2π√(LC). En isolant L, avec C = 1,0 µF converti en farads, on obtient L = 0,50 H : la seconde bobine convient.

Étude énergétique

À l'instant initial, le condensateur est chargé et le courant nul : l'énergie électrique est maximale et l'énergie magnétique nulle. La courbe 2, qui part de sa valeur maximale, est donc l'énergie du condensateur, et la courbe 1 celle de la bobine. L'énergie totale diminue à cause de l'effet Joule dans la résistance du circuit, ce qui explique aussi la décroissance de l'amplitude.

Conseils

Précisez toujours la convention et la loi utilisée, mesurez une période sur plusieurs oscillations et pensez aux conversions de microfarads et de millisecondes.