Un oscillateur solide-ressort, de l'enregistrement à l'énergie

Cet exercice de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, porte sur un mobile qui glisse sans frottement sur un banc à coussin d'air, attaché à deux ressorts. Il enchaîne la lecture d'un enregistrement x(t), l'étude théorique avec la deuxième loi de Newton et une étude énergétique. La calculatrice est interdite.

Partie 1 : l'enregistrement

À t = 0, la courbe donne x(0) = 2,0 cm : le mobile est écarté vers la droite. La tangente à la courbe est horizontale à cet instant, la vitesse initiale est donc nulle : le mobile est lâché sans vitesse. Pour la période, on mesure plusieurs périodes : entre t = 0 et le troisième maximum, 2T = 1,26 s, d'où T = 0,63 s. Le piège est de mesurer la durée entre deux passages successifs en x = 0, qui ne donne qu'une demi-période. Pour un mobile lancé depuis l'équilibre vers les x négatifs, la courbe part de l'origine en descendant, avec la même amplitude et la même période. La vitesse à une date t₁ s'obtient par le coefficient directeur de la tangente ou, numériquement, par une vitesse moyenne entre deux dates très proches.

Partie 2 : l'étude théorique

Le système est soumis à son poids, à la réaction du rail et à la force de rappel F = −K x i. Le poids et la réaction se compensent. La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe donne l'équation différentielle d²x/dt² + (K/m) x = 0. Avec x(0) = 2,0 cm et une vitesse initiale nulle, on obtient X_M = 2,0 cm et φ = 0, la solution φ = π étant écartée car elle imposerait une amplitude négative. La période propre s'écrit T₀ = 2π√(m/K) ; avec m = 0,100 kg et K = 2k = 10 N·m^-1, on trouve T₀ = 0,63 s, en accord avec l'enregistrement.

Partie 3 : l'étude énergétique

Le travail élémentaire de la force exercée par l'élève s'écrit dW = F_E·dl. Si le déplacement est lent, cette force compense la force de rappel et dW = K x dx. En sommant de 0 à X_M, on obtient W = ½ K X_M², énergie emmagasinée sous forme potentielle élastique, soit 2,0 mJ. L'expression F·AB n'est pas utilisable car la force n'est pas constante. Sur la figure 5, la courbe qui part de son maximum à t = 0 est l'énergie potentielle élastique, celle qui part de zéro est l'énergie cinétique. Leur somme reste égale à 2,0 mJ : l'énergie mécanique est représentée par une droite horizontale.

Pièges et conseils

Garder la masse en kilogrammes et utiliser K = 2k et non k. Remarquer que les énergies oscillent deux fois plus vite que x(t), avec une période T₀/2. Enfin, la dernière question demande du recul : sur une longue durée, les frottements résiduels font lentement diminuer l'énergie mécanique, même si elle paraît constante sur deux secondes.