Le GPS : trilatération, satellites et signaux codés

Le deuxième exercice du bac S 2013 en Métropole est le plus lourd du sujet : 10 points, à traiter en 1 h 40 environ. Il explique le fonctionnement d'un GPS en quatre temps : la localisation par intersection de cercles, le mouvement des satellites, la précision exigée sur la mesure des durées, puis la transmission du message de navigation. On y mobilise la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet, la propagation des ondes électromagnétiques et des notions de transmission numérique.

Partie 1 : retrouver une ville avec deux distances

L'automobiliste est à 240 km de Lyon et à 340 km de Nancy. Avec l'échelle de la carte, 100 km pour 1,2 cm, on trace au compas un cercle de 2,9 cm autour de Lyon et un cercle de 4,1 cm autour de Nancy. Les deux cercles se coupent en deux points : l'un hors de France, du côté de l'Italie, l'autre sur Bourges, qui est la réponse. Le piège est de se laisser guider par les cercles déjà imprimés sur l'annexe, qui ne servent à rien ici. Cette ambiguïté entre deux points explique pourquoi un GPS a besoin d'un troisième satellite.

Partie 2 : le mouvement circulaire uniforme du satellite

Dans le référentiel géocentrique, le satellite n'est soumis qu'à l'attraction terrestre, dirigée vers le centre de la Terre. La deuxième loi de Newton donne une accélération portée par le vecteur normal ; en identifiant avec l'accélération dans le repère de Frenet, la composante tangentielle dv/dt est nulle, donc la vitesse est constante. L'accélération, elle, n'est pas nulle : elle est centripète. La composante normale conduit à v = √(GM_T/(R_T + h)). Avec R_T + h = 2,638 × 10⁷ m, on obtient v = 3,89 × 10³ m·s^-1. Deux erreurs coûtent cher : oublier de convertir les kilomètres en mètres, et confondre l'altitude avec la distance au centre de la Terre. La période vaut T = 2π(R_T + h)/v = 4,26 × 10⁴ s, soit 11,8 h : le satellite fait bien deux révolutions par jour, comme l'annonce le texte.

Partie 3 : la précision sur les durées

Une précision de 10 m sur la distance correspond à une durée de 10/c = 33 ns, soit environ 30 ns. Pour un satellite à la verticale, le signal met h/c = 6,67 × 10^-2 s, d'où une précision relative de 4,5 × 10^-7, un nombre sans unité. Le texte indique ensuite que, sans correction relativiste, les horloges du satellite avancent de 38 µs par jour ; par proportionnalité, le décalage atteint 30 ns au bout de 68 s, environ une minute. Il faut convertir le jour en secondes et les microsecondes en nanosecondes avant de poser la proportion.

Partie 4 : transmettre le message

Un message de 4,5 ko représente 3,6 × 10⁴ bits ; au débit de 50 bit·s^-1, son envoi dure 7,2 × 10² s, soit 12 minutes. Oublier le facteur 8 entre octets et bits donne 90 s, une durée qui n'aurait rien de surprenant. Le document explique que le récepteur réutilise les paramètres mémorisés avant son dernier arrêt. Dernière question, la superposition du message et du code : là où le message vaut 0, on recopie le code, là où il vaut 1, on l'inverse. Attention, la frontière entre les deux bits du message tombe après la neuvième case.

Conseils pour réussir

Rédigez la démonstration de Newton complètement : système, référentiel, force, puis identification composante par composante. Gardez les expressions littérales jusqu'au bout pour limiter les arrondis, et contrôlez chaque résultat par un ordre de grandeur, comme le demande la vérification avec le texte d'introduction.