Temps caractéristiques : un même raisonnement pour trois systèmes

Cet exercice de 5,5 points du Bac S Métropole rattrapage 2003, sans calculatrice, a une construction originale : il étudie trois phénomènes très différents, la décroissance radioactive, la charge d'un condensateur et la chute d'un solide dans un fluide, avec la même question à chaque fois. Le temps caractéristique dépend-il des grandeurs propres au système, des conditions initiales ou des paramètres extérieurs ? La méthode consiste toujours à comparer deux expériences qui ne diffèrent que par un seul facteur.

Partie 1 : décroissance radioactive

La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés. À partir de N = N₀ e^-λt, on obtient λ = ln 2 / t_1/2. Sur la courbe (3) du radon 222, on lit x₀ ≈ 72, puis l'abscisse du point d'ordonnée 36 : t_1/2 ≈ 3,8 jours. La comparaison des expériences 1 et 2, même noyau mais populations initiales différentes, montre que la demi-vie ne dépend pas des conditions initiales ; celle des expériences 1 et 3 montre qu'elle dépend de la nature du noyau.

Partie 2 : charge d'un condensateur

Pour l'expérience 4, la constante de temps se lit à 63 % de la tension finale : 0,63 × 4,25 ≈ 2,7 V, ce qui donne τ₄ ≈ 0,25 s. La méthode de la tangente à l'origine est aussi acceptée. En comparant les expériences deux à deux, τ change avec R et avec C mais pas avec U₀. Parmi les six expressions proposées, seule τ = RC est compatible avec les quatre expériences : diviser R par 2 divise τ par 2, et diminuer C diminue τ. L'analyse dimensionnelle, à partir de u = Ri et de q = Cu avec q = i Δt, confirme que RC a la dimension d'un temps.

Partie 3 : chute avec frottements

Sur la courbe (3), la vitesse tend vers une vitesse limite d'environ 0,78 m·s^-1. La tangente à l'origine coupe l'asymptote à la date τ₃ ≈ 0,1 s. Le temps caractéristique dépend de la masse du solide et de la nature du fluide. Le mouvement est rectiligne accéléré pendant le régime initial, puis rectiligne uniforme en régime asymptotique, quand les forces se compensent.

Partie 4 : bilan

La proposition 1 est juste pour les trois systèmes. Les propositions 2 et 3 sont fausses : il suffit d'un système qui les contredit, la radioactivité pour les conditions initiales et le circuit RC pour les paramètres extérieurs.

Pièges et conseils

Ne compare jamais deux expériences où deux facteurs changent à la fois : en partie 3, les expériences 2 et 3 ne permettent aucune conclusion. Ne confonds pas non plus la constante de temps avec la durée de la charge complète. Enfin, pour la tangente à l'origine, une valeur approchée suffit tant que la construction est visible sur l'annexe.