Un toboggan de plage : énergie mécanique et chute parabolique

Ce premier exercice de mécanique, noté sur 5,5 points et prévu pour environ 1 h 05, suit un enfant qui descend un toboggan puis tombe dans une piscine. Il enchaîne deux outils incontournables du programme : la conservation de l'énergie mécanique sur la piste, puis la deuxième loi de Newton pour le vol entre la sortie du toboggan et l'eau. Les données sont simples (m = 35 kg, g = 10 m.s^-2, h = 5,0 m, H = 0,50 m, angle de 30°), ce qui permet de se concentrer sur le raisonnement.

Partie 1 : de D à O, l'énergie mécanique

Les premières questions installent les expressions de base. L'énergie potentielle de pesanteur a pour référence le point O : en D, elle vaut donc m g h, et non m g (h + H), erreur classique quand on prend la surface de l'eau comme repère. L'enfant part sans vitesse, son énergie mécanique en D se réduit à m g h ; en O, où l'altitude est nulle, elle se réduit à l'énergie cinétique.

La question 1.4 est le cœur de la partie : il faut justifier la conservation de l'énergie mécanique. Le poids est une force conservative, la réaction de la piste est perpendiculaire au déplacement et ne travaille pas, les frottements sont négligés. Sans cette phrase, l'égalité des énergies n'est pas démontrée. On obtient v₀ = racine de 2 g h, soit 10 m.s^-1, c'est-à-dire 36 km/h. La question 1.6 confronte ce modèle à la réalité : la vitesse réelle de 5,0 m.s^-1 s'explique par les frottements, dont le travail résistant dissipe une partie de l'énergie. Une vitesse divisée par deux correspond à une énergie cinétique divisée par quatre.

Partie 2 : la chute dans l'eau

Après O, l'enfant n'est soumis qu'à son poids. La démarche attendue est toujours la même : système, référentiel galiléen, bilan des forces, puis deuxième loi de Newton, qui donne un vecteur accélération égal à g. Attention au signe : l'axe Oy est orienté vers le haut, donc a_y = -g. Par intégrations successives, avec une vitesse initiale de 5,0 m.s^-1 inclinée de 30° au-dessus de l'horizontale, on obtient les composantes de la vitesse puis les équations horaires x(t) et y(t). Le corrigé insiste sur un piège fréquent : ne pas inverser sinus et cosinus, l'angle étant mesuré par rapport à l'horizontale.

L'élimination du temps conduit à l'équation de la trajectoire demandée, une parabole. La dernière question est la plus technique : le point d'impact P se trouve à la surface de l'eau, donc à l'ordonnée -H = -0,50 m. On résout une équation du second degré dont le discriminant vaut environ 0,867 ; la racine négative est écartée et l'on trouve x_P = 2,8 m.

Conseils pour réussir

Rédigez systématiquement les justifications énergétiques, vérifiez l'orientation des axes avant de projeter, gardez les valeurs non arrondies jusqu'au résultat final et contrôlez que la calculatrice est bien en degrés. Cet exercice constitue un excellent entraînement pour lier énergie et mouvement parabolique dans un même sujet.