Un oscillateur solide-ressort, du modèle idéal aux frottements

Cet exercice de 4 points du Bac S Asie 2004 étudie un mobile de masse m = 250 g accroché à un ressort de raideur k = 10 N/m, qui oscille le long d'une tige horizontale. La première partie néglige les frottements et conduit à l'équation différentielle et à la période propre. La seconde introduit une force de frottement proportionnelle à la vitesse et s'appuie sur deux enregistrements : la position x(t) et les énergies du système. L'oscillateur mécanique ne figure plus au programme actuel, mais les outils employés, deuxième loi de Newton, énergies et travail des frottements, restent indispensables.

Partie I : sans frottement

Le mobile est soumis à trois forces : son poids, la réaction de la tige, verticale, et la force de rappel F = -k x i, toujours dirigée vers la position d'équilibre O. Le piège est d'orienter cette force dans le sens du déplacement. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe horizontal donne d²x/dt² + (k/m) x = 0. En dérivant deux fois x = xM cos(√(k/m) t + φ), on vérifie que cette fonction est solution quelles que soient les constantes. Les conditions initiales, vitesse nulle et x0 = +2,0 cm, imposent sin φ = 0 puis cos φ > 0, d'où φ = 0 rad et xM = 2,0 cm. La période propre vaut T0 = 2π√(m/k) = 0,99 s, à condition d'exprimer la masse en kilogrammes.

Partie II : avec frottements

Sur la figure 2, x est maximal à t = 0, 1,0 s et 2,0 s : la pseudo-période vaut T = 1,0 s, égale à la période propre à la précision de la lecture. À t = 0, le mobile est lâché sans vitesse : l'énergie cinétique est nulle et l'énergie potentielle élastique vaut ½ k x0² = 2,0 mJ. La courbe A est donc Ep(t) et la courbe B est Ec(t). L'énergie mécanique diminue car la force de frottement, toujours opposée au mouvement, a un travail résistant : l'énergie est dissipée sous forme thermique.

La vitesse est la pente de la tangente à x(t). À l'instant t1, le mobile passe par O avec la tangente la plus inclinée : la valeur de la vitesse est maximale. À t2, x passe par un minimum, la tangente est horizontale et la vitesse est nulle. La force de frottement, proportionnelle à la vitesse, est donc maximale à t1 et nulle à t2. On en déduit la forme en escalier de Em(t) : des paliers quand la vitesse s'annule, sans dissipation, et des descentes rapides quand la vitesse est maximale, soit deux marches par pseudo-période.

Conseils pour réussir

Fais un schéma clair des forces avant d'appliquer la loi de Newton, garde les unités du système international dans les applications numériques, et appuie chaque identification de courbe sur une valeur précise lue à t = 0.