Analyse du sujet de mathématiques - Vecteurs (Niveau Seconde)

Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde est une évaluation complète sur le premier chapitre des vecteurs. Il aborde les compétences fondamentales telles que la manipulation d'expressions vectorielles avec la relation de Chasles, la construction graphique de points, l'analyse des propriétés des vecteurs et l'application de ces concepts pour démontrer des propriétés géométriques comme le parallélisme. Ce sujet est un excellent outil pour réviser et valider les acquis sur les vecteurs.

Exercice 1 : Maîtrise de la Relation de Chasles

Le premier exercice est un classique incontournable pour vérifier la compréhension de la somme vectorielle et de la relation de Chasles. L'objectif est de simplifier plusieurs expressions vectorielles. Cela nécessite non seulement de connaître la formule \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \), mais aussi de savoir manipuler les vecteurs opposés, comme \( -\vec{AC} = \vec{CA} \).

Les expressions à simplifier sont :

• 1. \( \vec{AB} - \vec{AC} - \vec{CB} \)
• 2. \( \vec{BC} - \vec{BA} + \vec{BD} - \vec{BC} \)
• 3. \( \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BC} - \vec{BA} \)
• 4. \( \vec{AC} + 2\vec{CB} + \vec{BA} \)
• 5. \( 2\vec{AB} - \vec{BC} - \vec{CA} \)

Cet exercice teste la rigueur dans le calcul vectoriel et la capacité à réorganiser les termes pour appliquer Chasles de manière efficace.

Exercice 2 : Construction de points par définition vectorielle

Cet exercice se concentre sur l'aspect graphique des vecteurs. À partir d'un triangle \(ABC\) dessiné sur un quadrillage, les élèves doivent construire plusieurs points définis par des égalités vectorielles. C'est une application directe de la multiplication d'un vecteur par un scalaire et de la somme de vecteurs.

Les points à construire sont :

• Le point \(M\) tel que \( \vec{AM} = 2\vec{BC} \) : Il s'agit de reporter deux fois le vecteur \( \vec{BC} \) à partir du point A.
• Le point \(N\) tel que \( \vec{BN} = \frac{2}{3}\vec{AC} \) : On construit un vecteur colinéaire à \( \vec{AC} \), de même sens et de longueur deux tiers, à partir du point B.
• Le point \(P\) tel que \( \vec{CP} = 2\vec{AB} - \frac{1}{3}\vec{AC} \) : Cette construction demande de combiner une multiplication par un scalaire et une somme (ou soustraction) de vecteurs.
• Le point \(Q\) tel que \( \vec{AQ} = -\frac{3}{4}\vec{AC} \) : Un vecteur colinéaire à \( \vec{AC} \), mais de sens opposé.
• Le point \(R\) tel que \( \vec{AR} = -\frac{3}{4}\vec{BC} \) : Similaire au point Q, mais avec le vecteur \( \vec{BC} \).

Cet exercice évalue la capacité à interpréter géométriquement des égalités vectorielles complexes.

Exercice 3 : Analyse des caractéristiques d'un vecteur

Le troisième exercice propose une analyse comparative de plusieurs vecteurs représentés sur un quadrillage. En prenant un vecteur de référence \( \vec{u} \), il faut compléter un tableau pour d'autres vecteurs (\( \vec{v}, \vec{w}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{t} \)) en indiquant s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur (norme) que \( \vec{u} \).

Cet exercice permet de s'assurer que les définitions fondamentales d'un vecteur (direction, sens, norme) sont bien comprises et différenciées. C'est la base de la compréhension de l'égalité et de la colinéarité de deux vecteurs.

Exercice 4 : Démonstration de parallélisme par la colinéarité

Le dernier exercice est un problème de géométrie qui met en œuvre toutes les compétences vues précédemment. Dans un triangle \(ABC\), on place les points \(M\) et \(N\) tels que \( \vec{AM} = \frac{3}{4}\vec{AB} \) et \( \vec{CN} = \frac{1}{4}\vec{CA} \).

La démarche est guidée :

1. Exprimer \( \vec{AN} \) en fonction de \( \vec{AC} \) : Cette étape nécessite d'utiliser la relation de Chasles en introduisant le point C : \( \vec{AN} = \vec{AC} + \vec{CN} \). En substituant l'expression donnée, on trouve le résultat.
2. En déduire \( \vec{MN} \) en fonction de \( \vec{BC} \) : Ici, on décompose \( \vec{MN} \) avec Chasles, par exemple \( \vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN} \). On remplace ensuite chaque vecteur par son expression en fonction des vecteurs de base \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \), puis on regroupe les termes pour faire apparaître le vecteur \( \vec{BC} \).

La conclusion de cet exercice est de trouver une relation de la forme \( \vec{MN} = k \cdot \vec{BC} \), ce qui prouve que les vecteurs \( \vec{MN} \) et \( \vec{BC} \) sont colinéaires. La propriété géométrique qui en découle est que les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. C'est une application classique et puissante de l'outil vectoriel en géométrie.