Découvrez ce sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde, centré sur le chapitre crucial des droites du plan. Cette évaluation d'une heure, notée sur 20 points, est un excellent moyen de tester et de consolider vos connaissances sur les équations cartésiennes, les vecteurs directeurs, et la résolution de systèmes d'équations linéaires. Idéal pour les révisions, ce document propose un corrigé détaillé pour chaque exercice, vous permettant de comprendre vos erreurs et de progresser. Les mots-clés de ce sujet sont : contrôle corrigé maths Seconde, sujet sur les droites, équations cartésiennes, vecteur directeur, systèmes d'équations, géométrie analytique.
Exercice 1 : Maîtrise des Systèmes d'Équations (4 points)
Ce premier exercice est un test fondamental de vos compétences en algèbre, spécifiquement sur la résolution de systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues. Il est divisé en deux questions, chacune évaluant une méthode de résolution distincte.
- Question 1 : Méthode par substitution
Il vous est demandé de résoudre le système suivant :$ \begin{cases} 2x - y = 7 \\ x + y = 5 \end{cases} $Cette méthode consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans l'une des équations (par exemple, $ y = 5 - x $), puis à substituer cette expression dans la seconde équation. C'est une compétence essentielle pour manipuler les équations et trouver le couple solution $ (x, y) $.
- Question 2 : Méthode par combinaison linéaire
Le second système à résoudre est :$ \begin{cases} 7x + 4y = 10 \\ 3x + 5y = 1 \end{cases} $Pour cette question, la méthode par combinaison (ou par addition) est imposée. Elle requiert de multiplier une ou les deux équations par des coefficients choisis judicieusement afin d'éliminer l'une des inconnues en additionnant ou soustrayant les deux équations. C'est une technique souvent plus rapide et élégante lorsque les coefficients sont moins simples.
Exercice 2 : Équations Cartésiennes et Géométrie (6 points)
Cet exercice aborde le cœur du chapitre : la géométrie analytique et la détermination d'équations de droites. Les questions sont indépendantes, ce qui permet d'évaluer des savoir-faire variés.
- Question 1 : Équation à partir d'un point et d'un vecteur directeur
L'objectif est de trouver l'équation cartésienne de la droite $ (d) $ passant par le point $ A(2; 5) $ et dirigée par le vecteur $ \vec{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $. Cette question teste la connaissance de la formule reliant un vecteur directeur $ \vec{u}(-b; a) $ à une équation cartésienne de la forme $ ax + by + c = 0 $.
- Question 2 : Équation à partir de deux points
Ici, il s'agit de déterminer l'équation cartésienne d'une droite passant par deux points distincts, $ A(2; 1) $ et $ B(5; -6) $. La première étape consiste à calculer les coordonnées du vecteur directeur $ \vec{AB} $, puis à appliquer la méthode de la question précédente.
- Question 3 : Problème de Colinéarité (Chasse au trésor)
Cette question concrète et ludique vous met dans la peau d'un chercheur de trésor. Pour savoir si le trésor situé en $ T(24; 40) $ se trouve sur le chemin de Casimir, qui parcourt le segment $ [DA] $ avec $ D(20; 25) $ et $ A(32; 50) $, il faut vérifier si les points D, T et A sont alignés. Cela revient à démontrer que les vecteurs $ \vec{DT} $ et $ \vec{DA} $ sont colinéaires, par exemple en utilisant le critère de colinéarité $ xy' - x'y = 0 $.
Exercice 3 : Analyse d'une Équation de Droite à Paramètre (6 points)
Cet exercice plus théorique vous demande de travailler avec une équation de droite contenant un paramètre réel $ m $ : $ 2x + my + 5 = 0 $. Il faut déterminer la valeur de $ m $ pour que la droite vérifie certaines conditions.
- Question a) : Condition sur le vecteur directeur
Peut-on trouver $ m $ pour que le vecteur $ \vec{u} \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} $ soit un vecteur directeur de $ (d) $ ? Il faut se souvenir qu'un vecteur directeur d'une droite d'équation $ ax+by+c=0 $ est $ \vec{v}(-b; a) $. Il s'agit donc de vérifier si le vecteur donné est colinéaire à $ \vec{v}(-m; 2) $.
- Question b) : Condition d'appartenance d'un point
Est-il possible que le point $ E(4; -1) $ appartienne à la droite $ (d) $ ? Pour le savoir, il suffit de remplacer $ x $ et $ y $ par les coordonnées de E dans l'équation de la droite et de résoudre l'équation d'inconnue $ m $ qui en résulte.
- Question c) : Condition sur la pente (coefficient directeur)
La question est de savoir si la pente de la droite $ (d) $ peut être égale à 7. Il faut d'abord exprimer la pente de la droite en fonction de $ m $. Pour cela, on peut passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite $ y = ax + p $, où $ a $ est la pente. On résout ensuite l'équation pour trouver $ m $.
Exercice 4 : Mise en Problème et Résolution (4 points)
Le dernier exercice est un problème classique de mise en équation. Il s'agit de traduire un énoncé concret en un système d'équations linéaires, puis de le résoudre pour trouver la solution au problème.
Aline a un forfait téléphonique. L'énoncé fournit deux situations de consommation avec leurs coûts respectifs :
- 1,5 Go d'internet et 5h de conversation coûtent 9,45€.
- 8 Go d'internet et 4h de conversation coûtent 23,20€.
En posant $ x $ le prix d'un Go d'internet et $ y $ le prix d'une heure de conversation, on peut traduire ces informations en un système de deux équations à deux inconnues. La résolution de ce système, par la méthode de votre choix (substitution ou combinaison), donnera les tarifs recherchés. Cet exercice évalue votre capacité à modéliser une situation réelle avec les outils mathématiques du chapitre.