Obtenez une analyse détaillée et le corrigé de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, entièrement consacré au chapitre sur les variables aléatoires. Ce sujet d'une heure est un excellent outil de révision, couvrant tous les aspects fondamentaux du chapitre, de la définition d'une loi de probabilité au calcul de l'espérance, de la variance, et à l'application des probabilités conditionnelles.

Ce contrôle corrigé vous aidera à maîtriser les compétences essentielles pour réussir vos évaluations sur les variables aléatoires et les probabilités. Chaque exercice est décortiqué pour vous offrir une compréhension approfondie des méthodes de résolution.

Exercice I : Questions à Choix Multiples (QCM)

Cet exercice est un QCM qui vise à évaluer rapidement votre compréhension des définitions et formules de base des variables aléatoires. Trois situations sont présentées :

• Question 1 : On vous donne la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\) avec un paramètre inconnu \(a\). Vous devez déterminer la valeur de \(a\). Cette question teste la propriété fondamentale que la somme des probabilités d'une loi de probabilité est toujours égale à 1. L'équation à résoudre est \(0,2 + 2a + 3a = 1\).
• Question 2 : À partir du tableau de la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(Y\), il faut calculer son espérance mathématique \(E(Y)\). Cela nécessite l'application directe de la formule \(E(Y) = \sum_{i} y_i \cdot P(Y=y_i)\).
• Question 3 : Pour une variable aléatoire \(Z\), on connaît sa loi de probabilité ainsi que son espérance \(E(Z) = -2\). La tâche consiste à calculer sa variance \(V(Z)\). Vous devrez utiliser la formule de König-Huygens \(V(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2\), en calculant d'abord l'espérance du carré de la variable, \(E(Z^2)\).

Exercice II : Étude d'un jeu de cartes

Cet exercice concret vous plonge dans une situation de jeu pour appliquer les concepts de variables aléatoires. Le jeu utilise un paquet de 32 cartes, où des points sont attribués à chaque type de carte.

• Question 1 : On tire une carte au hasard. La variable aléatoire \(X\) représente le nombre de points obtenus. Il faut d'abord déterminer la loi de probabilité de \(X\) en calculant la probabilité d'obtenir 0, 5 ou 10 points. Ensuite, vous devez calculer l'espérance \(E(X)\) et l'écart-type \(\sigma(X)\), ce qui implique le calcul préalable de la variance \(V(X)\).
• Question 2 : L'expérience change : on tire deux cartes successivement avec remise. La variable aléatoire \(Y\) est la somme des points. Cette question demande de modéliser la situation avec un arbre pondéré, d'identifier toutes les valeurs possibles pour \(Y\), puis d'établir sa loi de probabilité complète.
• Question 3 : Une question de modélisation plus avancée sur le concept de jeu équitable. En fonction de la somme des points obtenue, un joueur gagne ou perd de l'argent. Vous devez trouver la somme \(s\) que l'autre joueur doit verser pour que l'espérance de gain du premier joueur soit nulle, rendant ainsi le jeu équitable.

Exercice III : Application à une épidémie

Ce dernier exercice est un problème classique de probabilités conditionnelles appliqué à un contexte médical, un scénario fréquent au baccalauréat. Il s'agit d'évaluer l'efficacité d'un test de dépistage pour une maladie bovine.

• Question 1 : La première étape est de modéliser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités pondéré, en utilisant les données de l'énoncé (prévalence de la maladie, sensibilité et spécificité du test).
• Question 2 : Il s'agit de calculer des probabilités à partir de l'arbre : d'abord une probabilité d'intersection (être malade ET tester positif), puis la probabilité totale d'un événement (tester positif), en utilisant la formule des probabilités totales.
• Question 3 : Une question clé qui teste votre capacité à "inverser" la condition. Connaissant la probabilité qu'un animal soit testé positif, on vous demande de calculer la probabilité qu'il soit réellement porteur de la maladie. C'est une application directe de la définition des probabilités conditionnelles ou de la formule de Bayes.
• Question 4 : Le problème se termine par l'introduction d'une nouvelle variable aléatoire \(X\) associée au coût engendré par le test. Vous devrez déterminer les valeurs possibles de ce coût, établir la loi de probabilité de \(X\), puis calculer et interpréter son espérance \(E(X)\). Cette espérance représente le coût moyen par animal testé et permet de faire une prévision de coût pour un troupeau entier.

En résumé, ce sujet de maths est un parcours complet sur les variables aléatoires, mêlant calculs directs, modélisation et interprétation dans des contextes variés. Un excellent entraînement pour tout élève de Première spé maths.