Contrôle Corrigé sur la Fonction Exponentielle - Première Spécialité

Ce document propose le sujet et une analyse détaillée d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, entièrement consacré au chapitre de la fonction exponentielle. Cette évaluation d'une heure est structurée en trois exercices progressifs qui balayent les compétences essentielles du chapitre : la dérivation de fonctions complexes, la résolution d'inéquations, l'étude de suites et l'analyse de fonctions pour démontrer des inégalités fondamentales.

Ce corrigé est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et valider leur compréhension des mécanismes liés à l'exponentielle, ainsi que pour les enseignants cherchant des supports d'évaluation pertinents.

Exercice 1 : Maîtrise des techniques de dérivation (6 points)

L'objectif de ce premier exercice est de vérifier la capacité des élèves à appliquer les formules de dérivation sur des fonctions contenant une exponentielle. Il est essentiel de maîtriser non seulement les dérivées de produits et de quotients, mais aussi la dérivation des fonctions composées.

• Première fonction : $ t(x) = xe^{2x} $. Pour dériver cette fonction, il faut reconnaître une forme produit $ (uv)' = u'v + uv' $. De plus, la dérivation du terme $ e^{2x} $ nécessite l'application de la formule de la dérivée d'une composée $ (e^u)' = u'e^u $.
• Seconde fonction : $ w(x) = \frac{e^{-x}}{x+1} $. Cette fonction est un quotient, dont la dérivée est donnée par la formule $ (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Encore une fois, la dérivation de la fonction composée $ e^{-x} $ est requise.

Exercice 2 : Manipulation algébrique et étude de suite (7 points)

Cet exercice se compose de trois questions indépendantes qui testent la manipulation des expressions exponentielles, la résolution d'inéquations et l'étude du sens de variation d'une suite.

1. Question 1 : Démontrer l'égalité $ \frac{1}{1+e^{-x}} = \frac{e^x}{1+e^x} $. Il s'agit d'un calcul algébrique classique où l'astuce consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction de gauche par $ e^x $ pour simplifier l'expression.
2. Question 2 : Résoudre dans $ \mathbb{R} $ l'inéquation $ e^{2x+1} < \frac{1}{e^x} $. La première étape est de réécrire l'inéquation en utilisant les propriétés de l'exponentielle ($ \frac{1}{e^x} = e^{-x} $). On se ramène alors à une inéquation de la forme $ e^a < e^b $, qui s'appuie sur la stricte croissance de la fonction exponentielle pour être résolue.
3. Question 3 : Étudier le sens de variation de la suite $ (u_n) $ définie par $ u_n = e^{1-2n} - 1 $. La méthode la plus directe consiste à étudier les variations de la fonction $ f(x) = e^{1-2x} - 1 $ associée à la suite. Le signe de sa dérivée donnera directement le sens de variation de la fonction, et donc celui de la suite.

Exercice 3 : Étude de fonction et démonstration d'inégalités (7 points)

Cet exercice est un problème d'analyse complet, un classique du chapitre. Il utilise l'étude d'une fonction auxiliaire pour établir des inégalités importantes, dont une est liée à la définition du nombre $ e $.

• Question 1 : L'étude des variations de la fonction $ f(x) = e^x - x - 1 $ est demandée. Il faut calculer la dérivée $ f'(x) = e^x - 1 $, étudier son signe pour en déduire le tableau de variation de $ f $. En trouvant le minimum de la fonction, on peut conclure sur son signe et ainsi démontrer la fameuse inégalité de convexité $ 1+x \le e^x $ pour tout réel $ x $.
• Question 2 : En utilisant le résultat précédent, il est demandé de déduire une autre inégalité : $ e^x \le \frac{1}{1-x} $ pour $ x < 1 $. Cette question demande une certaine ingéniosité, souvent basée sur un changement de variable approprié dans l'inégalité déjà prouvée.
• Question 3 : La dernière question est une application directe de l'inégalité de la question 1 pour démontrer que pour tout entier $ n \ge 1 $, on a $ (1+\frac{1}{n})^n \le e $. Il suffit de poser $ x = \frac{1}{n} $ dans la première inégalité et d'élever le tout à la puissance $ n $.