Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité est une évaluation complète sur le chapitre des primitives. Il est conçu pour tester la maîtrise des concepts fondamentaux du calcul de primitives, une compétence essentielle avant d'aborder le calcul intégral. Ce sujet, accompagné de son corrigé détaillé, est un excellent outil de révision pour les élèves préparant le Baccalauréat. Les exercices sont progressifs, allant des primitives usuelles à des cas plus complexes de fonctions composées, et abordent également la détermination de la constante d'intégration.
Exercice 1 : Application des formules de primitives usuelles
Cet exercice constitue une mise en jambe et vérifie la connaissance des primitives des fonctions de référence. Il s'agit d'appliquer directement les formules du cours sur des sommes de fonctions simples.
- Question 1 : Calculer une primitive de $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$. Il s'agit d'une fonction polynôme. La primitive s'obtient terme à terme en utilisant la formule pour $x^n$.
- Question 2 : Calculer une primitive de $g(x) = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2}$. Cette fonction demande de connaître la primitive de $\frac{1}{x}$ qui est $\ln(x)$ (sur $]0; +\infty[$) et celle de $\frac{1}{x^2}$ (qui est de la forme $x^n$ avec $n=-2$).
- Question 3 : Calculer une primitive de $h(x) = 2e^x + \cos(x)$. Il faut ici mobiliser les primitives des fonctions exponentielle et cosinus.
- Question 4 : Calculer une primitive de $k(x) = \frac{4}{\sqrt{x}}$. Cette question teste la connaissance de la primitive de la fonction racine carrée au dénominateur, qui est une application de la formule de la primitive de $x^n$ avec $n = -1/2$.
Exercice 2 : Primitives de fonctions composées
Cet exercice augmente le niveau de difficulté en demandant de reconnaître des formes de fonctions composées pour déterminer leurs primitives. C'est une compétence clé du chapitre.
- Question 1 : Primitive de $f(x) = (2x + 1)(x^2 + x + 5)^3$. On doit reconnaître la forme $u'(x) \times [u(x)]^n$, où $u(x) = x^2 + x + 5$ et $n=3$. La primitive est alors de la forme $\frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1}$.
- Question 2 : Primitive de $g(x) = \frac{6x}{x^2 + 1}$. Cette fonction est un multiple de la forme $\frac{u'(x)}{u(x)}$, avec $u(x) = x^2 + 1$. Sa primitive fait intervenir le logarithme népérien.
- Question 3 : Primitive de $h(x) = 3e^{3x-1}$. Il s'agit de la forme $u'(x)e^{u(x)}$ avec $u(x) = 3x-1$. La primitive est simplement $e^{u(x)}$.
- Question 4 : Primitive de $k(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}$. On peut la voir comme $-\frac{u'(x)}{[u(x)]^2}$ avec $u(x) = \cos(x)$, dont la primitive est $\frac{1}{u(x)}$.
Exercice 3 : Ensemble des primitives et condition initiale
Cet exercice se décompose en deux parties et vise à s'assurer que la notion d'ensemble de primitives et la détermination de la constante sont bien comprises.
- Question 1 : Pour la fonction $f(x) = x^2 + e^{-x}$, on demande de trouver l'ensemble de toutes ses primitives sur $\mathbb{R}$. Il faut donc trouver une primitive particulière puis ajouter une constante $C \in \mathbb{R}$.
- Question 2 : On demande de trouver l'unique primitive $F$ qui vérifie la condition $F(0) = 4$. Cette condition initiale permet de calculer la valeur exacte de la constante $C$ trouvée à la question précédente.
Exercice 4 : Démontrer qu'une fonction est une primitive
Ce dernier exercice est une application directe de la définition d'une primitive. Il s'agit de la méthode la plus simple pour vérifier un calcul de primitive.
On donne une fonction $f(x) = (2x + 3)e^{2x}$ et une fonction $F(x) = (x + 1)e^{2x}$. Pour montrer que $F$ est une primitive de $f$, il suffit de dériver $F(x)$ et de vérifier que l'on retombe bien sur l'expression de $f(x)$. Cela nécessite de maîtriser la dérivation d'un produit de fonctions (forme $(uv)' = u'v + uv'$).
Ce sujet de contrôle sur les primitives est un excellent entraînement pour les élèves de Terminale spécialité maths, couvrant l'ensemble des compétences requises pour ce chapitre fondamental.