27. Combiner Chasles et les parallélogrammes

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir un exercice typique de ce qui nous attend au contrôle. C'est-à-dire utiliser des relations dans une figure et des relations qu'on vous a données en combinaison avec Chasles pour démontrer que quelque chose est par exemple un parallélogramme. On vous donne un parallélogramme \(ABCD\) et deux points qui sont définis par des relations vectorielles. La première étape, ça va être de faire une figure.

Construction de la figure

Moi, j'ai pris un peu d'avance. Disons que \(ABCD\) est un parallélogramme. Je vous rappelle que quand vous dessinez un parallélogramme \(ABCD\), il faut numéroter les lettres en tournant dans le sens horaire. Donc ici, j'aurais \(A\) ici, j'aurais \(B\) ici, \(C\) ici et \(D\) ici. Ensuite, on me dit \(E\) et \(F\) sont les points tels que \(E\) est égal à deux tiers de \(AD\) et \(F\) est égal à un tiers de \(BA\).

Démonstration

Deuxième question : montrer que \(AEFC\) est un parallélogramme. Pour cela, je veux faire apparaître le vecteur \(FC\). Si on voit bien que \(AD\) et \(BC\) sont parallèles et on se doute bien que \(AE\) et \(FC\) sont parallèles. La question c'est comment est-ce qu'on va traduire mathématiquement le fait que ce soit un parallélogramme. Pour que \(AEFC\) soit un parallélogramme, il faut que les vecteurs opposés soient égaux. Donc, je vais partir de \(AF\) et je veux montrer que c'est égal à \(FC\). Pour cela, je vais utiliser la relation de Chasles. Je peux écrire que \(AF = AE + EF\). Ensuite, je remplace \(AE\) et \(EF\) par les relations données dans l'énoncé, c'est-à-dire \(AE = \frac{2}{3}AD\) et \(EF = -\frac{2}{3}BA\). Ensuite, je peux utiliser la propriété du parallélogramme pour remplacer \(AD\) par \(BC\) et \(BA\) par \(DC\). Donc, j'obtiens \(AF = \frac{2}{3}BC - \frac{2}{3}DC\). En simplifiant, j'obtiens \(AF = FC\). Donc, \(AEFC\) est bien un parallélogramme. C'est un exercice typique qui correspond aux points entre 10 et 15 du contrôle. Ce n'est pas les points très durs, mais c'est les points qui nécessitent du sérieux. Si vous voulez avoir un 15, vous êtes obligés de maîtriser ce genre d'exercices. Heureusement, on vous a donné plein d'exercices pour vous entraîner. Allez, faites-les, ça vaut vraiment le coup.