Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité est une évaluation complète portant principalement sur la loi binomiale et les limites de fonctions. Il est conçu pour tester la compréhension des élèves sur les probabilités conditionnelles, la mise en place d'un arbre pondéré, la justification et l'application d'une loi de probabilité discrète, ainsi que leur maîtrise des théorèmes de comparaison et des gendarmes pour l'étude de limites. Ce sujet corrigé est une excellente ressource pour la préparation au baccalauréat.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (14 points)

Cet exercice s'appuie sur des données statistiques réelles concernant les immatriculations de véhicules en France. Il est divisé en trois parties indépendantes qui explorent différents aspects des probabilités.

Partie A : Arbre de probabilités et probabilités conditionnelles

La première partie de cet exercice de probabilités met en place le cadre de l'étude. À partir des données fournies, il faut modéliser la situation à l'aide d'événements et d'un arbre pondéré.

• Question 1 : Construction d'un arbre pondéré à partir des données de l'énoncé, avec les événements $N$ « le véhicule est neuf » et $R$ « le véhicule est hybride rechargeable ». On utilise les probabilités $P(N) = 0,2286$, $P(R|N) = 0,0808$ et $P(R|\bar{N}) = 0,0127$.
• Question 2 : Calcul de la probabilité de l'intersection de deux événements, $P(N \cap R)$, correspondant à la probabilité qu'un véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
• Question 3 : Application de la formule des probabilités totales pour démontrer que la probabilité qu'un véhicule soit hybride rechargeable est $P(R) \approx 0,0283$.
• Question 4 : Calcul d'une probabilité conditionnelle, celle que le véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable, $P(N|R)$.

Partie B : Application de la loi binomiale

Cette partie se concentre sur un schéma de Bernoulli. On s'intéresse à un échantillon de 400 véhicules et on étudie le nombre de véhicules neufs parmi eux.

• Question 1 : Justification que la variable aléatoire $X$, comptant le nombre de véhicules neufs, suit une loi binomiale. Il faut identifier les conditions d'application (répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes) et préciser les paramètres $n=400$ et $p=0,65$.
• Question 2 : Calcul de probabilités spécifiques à l'aide de la calculatrice : (a) la probabilité d'avoir exactement 275 véhicules neufs, $P(X=275)$, et (b) la probabilité d'en avoir plus de 250, $P(X > 250)$.
• Question 3 : Calcul d'une probabilité cumulée, $P(X \le 275)$, et son interprétation concrète dans le contexte de l'exercice.

Partie C : Problème de seuil

La dernière partie introduit un paramètre $n$ (le nombre de véhicules choisis) et demande de trouver à partir de quel seuil une condition de probabilité est remplie.

• Question 1 : Détermination de l'expression de la probabilité $p_n$ que tous les $n$ véhicules soient d'occasion, en fonction de $n$.
• Question 2 : (a) Déduction de l'expression de $q_n$, la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf, en utilisant l'événement contraire. On a $q_n = 1 - (1-0,65)^n$. (b) Résolution de l'inéquation $q_n \ge 0,9999$ pour trouver la plus petite valeur de l'entier $n$, ce qui nécessite l'utilisation de la fonction logarithme.

Exercice 2 : Limites de fonctions (6 points)

Ce second exercice est un Vrai/Faux portant sur les limites de fonctions. Il évalue la capacité à appliquer les théorèmes du cours pour déterminer des limites et interpréter les résultats en termes d'asymptotes.

• Affirmation 1 : À partir de l'encadrement $x^2 - x \le h(x) \le x^2$ pour $x>0$, il faut déterminer si la courbe de $h$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$. L'utilisation du théorème de comparaison permet de conclure.
• Affirmation 2 : En utilisant le même encadrement, on doit évaluer la limite de $\frac{h(x)}{x^2}$ en $+\infty$. Le théorème des gendarmes est ici l'outil adéquat.
• Affirmation 3 : Pour la fonction $f(x) = e^{-\frac{5}{x+1}}$, il faut déterminer sa limite en $-\infty$. Ce calcul requiert la maîtrise de la composition de limites et des limites de la fonction exponentielle.
• Affirmation 4 : Il s'agit de vérifier si la droite d'équation $x=-1$ est une asymptote à la courbe de la fonction $f$. Cela implique de calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-1$ par valeurs inférieures et d'interpréter le résultat.