Exercice 1 : Associer Équations et Droites

Cet exercice d'introduction teste votre capacité à faire le lien entre la représentation graphique d'une droite et son équation réduite de la forme $y = mx + p$. À partir d'un repère contenant trois droites $D_1$, $D_2$ et $D_3$, il faut identifier leurs équations respectives parmi une liste de six propositions.

• Pour la droite $D_1$, on observe graphiquement qu'elle monte, son coefficient directeur $m$ est donc positif. Son ordonnée à l'origine $p$ (l'intersection avec l'axe des ordonnées) est environ 2,7. L'équation $y = \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$ correspond bien, avec $m = 2/3 > 0$ et $p = 8/3 \approx 2,67$.
• Pour la droite $D_2$, elle descend, donc son coefficient directeur est négatif. Elle coupe l'axe des ordonnées en $y = -2$. L'équation correspondante est donc $y = -\frac{1}{2}x - 2$.
• Pour la droite $D_3$, elle est croissante avec une pente forte et coupe l'axe des ordonnées en $y = -3$. L'équation $y = 3x - 3$ est la bonne candidate.

Cet exercice est essentiel pour maîtriser la lecture graphique, une compétence fondamentale du chapitre sur les droites du plan.

Exercice 2 : Étude Analytique et Graphique de Droites

Cet exercice complet en 7 questions vous amène à manipuler les concepts clés liés aux droites. On étudie deux droites, (AB) définie par les points $A(2, 2)$ et $B(0, 5)$, et $\Delta$ d'équation $y = 2x + 2$.

1. Détermination de l'équation de (AB) : Il faut trouver l'équation réduite $y = mx+p$. Graphiquement, l'ordonnée à l'origine est 5 (point B). Le coefficient directeur se calcule par $m = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{2-5}{2-0} = -\frac{3}{2}$. L'équation est donc $y = -\frac{3}{2}x + 5$.
2. Coordonnées du point C : C est l'intersection de (AB) avec l'axe des abscisses, où $y=0$. On résout $0 = -\frac{3}{2}x + 5$, ce qui donne $x = \frac{10}{3}$. Les coordonnées de C sont $(\frac{10}{3}; 0)$.
3. Appartenance d'un point à une droite : Pour savoir si A(2, 2) est sur $\Delta$, on remplace $x$ et $y$ dans l'équation de $\Delta$. On calcule $2x+2 = 2(2)+2 = 6$. Comme $6 \neq 2$, le point A n'appartient pas à $\Delta$.
4. Tracé de la droite $\Delta$ : On utilise son équation pour trouver deux points. Par exemple, l'ordonnée à l'origine est $(0, 2)$ et pour $x=1$, $y=4$. On trace ensuite la droite passant par $(0,2)$ et $(1,4)$.
5. Position relative de deux droites : Pour justifier que (AB) et $\Delta$ sont sécantes, on compare leurs coefficients directeurs. Celui de (AB) est $-\frac{3}{2}$ et celui de $\Delta$ est $2$. Comme ils sont différents, les droites ne sont pas parallèles et sont donc sécantes.
6. Calcul d'une image : On cherche l'ordonnée du point de $\Delta$ d'abscisse $\sqrt{3}$. On calcule $y = 2(\sqrt{3}) + 2 = 2\sqrt{3} + 2$.
7. Calcul d'un antécédent : On cherche l'abscisse du point de $\Delta$ d'ordonnée $\frac{1}{2}$. On résout l'équation $\frac{1}{2} = 2x + 2$, ce qui mène à $x = -\frac{3}{4}$.

Exercice 3 : Application des Propriétés des Droites

Cet exercice se concentre sur l'utilisation de l'équation d'une droite pour vérifier des propriétés et en construire de nouvelles.

• Tracer une droite : La première question demande de tracer la droite $d$ d'équation $y = -3x + 5$. On peut utiliser l'ordonnée à l'origine $(0,5)$ et un autre point, par exemple si $x=1$, $y=2$.
• Vérifier l'appartenance de points : On teste si les coordonnées des points $A(-1; 2)$ et $B(4; -7)$ vérifient l'équation de $d$. Pour A, $-3(-1) + 5 = 8 \neq 2$, donc A n'est pas sur $d$. Pour B, $-3(4) + 5 = -7$, donc B est sur $d$.
• Construire et déterminer l'équation d'une nouvelle droite : On doit tracer puis trouver l'équation de la droite $d'$ passant par $A(-1; 2)$ avec un coefficient directeur de $\frac{1}{3}$. Son équation est de la forme $y = \frac{1}{3}x + p$. En utilisant les coordonnées de A, on trouve $p$: $2 = \frac{1}{3}(-1) + p$, d'où $p = \frac{7}{3}$. L'équation de $d'$ est donc $y = \frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$.

Exercice 4 : Le Problème du Marché - Mise en Équation

Ce dernier exercice est un problème concret qui demande une traduction de l'énoncé en langage mathématique, spécifiquement un système d'équations linéaires. C'est un excellent test de votre capacité à modéliser une situation.

En posant $h$ le nombre de chevaux et $v$ le nombre de vaches que les paysans possèdent initialement, le dialogue se traduit par le système suivant :

$\begin{cases} 2h + v = 17 \\ h + 2v = 19 \end{cases}$

La résolution de ce système (par substitution ou combinaison) donne $h = 5$ et $v = 7$. Les paysans avaient donc 5 chevaux et 7 vaches. La question finale porte sur le nombre de poulets apportés au marché. L'énoncé indique "si nous avions 2 fois plus de vaches... nous aurions juste assez de poulets". Cela correspond à l'achat de 7 vaches supplémentaires. Il faut donc calculer le coût de 7 vaches en poulets. Les taux de change sont :

• $5$ chevaux valent $12$ vaches.
• Le coût d'un cheval + le coût d'une vache = $85$ poulets.

En résolvant ce second petit système, on trouve qu'une vache coûte 25 poulets et un cheval 60 poulets. Le coût de l'achat de 7 vaches est donc de $7 \times 25 = 175$ poulets. Les paysans ont donc apporté 175 poulets.

Ce sujet de maths pour la classe de Seconde est un excellent entraînement sur le chapitre des droites du plan. Il couvre la lecture graphique, le calcul d'équations de droites, la vérification de propriétés et la résolution de problèmes via des systèmes d'équations.