Contrôle Corrigé de Mathématiques : Géométrie dans l'Espace en Terminale Spécialité
Découvrez un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour les élèves de Terminale spécialité, axé sur le chapitre de la géométrie dans l'espace. Ce document PDF d'une durée de 30 minutes est idéal pour s'entraîner sur les positions relatives, notamment la coplanarité de vecteurs et le parallélisme entre une droite et un plan. Les exercices proposés sont basés sur des figures classiques comme le cube et le pavé droit, permettant de mobiliser des compétences essentielles en calcul vectoriel et en raisonnement géométrique. Ce sujet de maths est une excellente ressource pour réviser et valider sa compréhension des vecteurs, des droites et des plans.
Exercice 1 : Étude de la Coplanarité de Vecteurs dans un Cube
Cet exercice prend place dans un cube \(ABCDEFGH\). Il a pour objectif de vérifier la maîtrise des combinaisons linéaires de vecteurs et la caractérisation de la coplanarité, une notion fondamentale de la géométrie vectorielle dans l'espace.
On définit trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) en fonction des vecteurs de base \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\) :
- \(\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AD} + 2\vec{AE}\)
- \(\vec{v} = \vec{AB} - \vec{AD} - 2\vec{AE}\)
- \(\vec{w} = 3\vec{AB} - \vec{AD} - 2\vec{AE}\)
La première question demande de trouver une relation de dépendance linéaire. Il faut déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}\). La méthode consiste à substituer les expressions de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans l'équation, puis à regrouper les termes selon les vecteurs de base \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\), et \(\vec{AE}\). On obtient alors un système de trois équations à deux inconnues (\(a\) et \(b\)) par identification des coefficients. La résolution de ce système donne les valeurs de \(a\) et \(b\) recherchées, ce qui constitue une application directe de l'algèbre vectorielle.
La deuxième question est une déduction directe. Ayant prouvé que \(\vec{w}\) peut s'écrire comme une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on conclut que les trois vecteurs sont coplanaires. C'est la définition même de la coplanarité : trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si l'un d'entre eux est une combinaison linéaire des deux autres (à condition que ces deux derniers ne soient pas colinéaires).
Exercice 2 : Parallélisme entre une Droite et un Plan dans un Pavé Droit
Le second exercice se déroule dans un pavé droit \(ABCDEFGH\) et se concentre sur la démonstration du parallélisme d'une droite et d'un plan à l'aide d'outils vectoriels. On définit trois points \(I\), \(J\) et \(K\) par des relations vectorielles précises : \(\vec{AI} = \frac{1}{4}\vec{AD}\), \(\vec{BJ} = \frac{1}{4}\vec{BC}\), et \(\vec{FK} = \frac{3}{4}\vec{FG}\).
- La première étape consiste à exprimer trois vecteurs clés, \(\vec{AK}\), \(\vec{IH}\) et \(\vec{IJ}\), dans la base naturelle de l'espace formée par les vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) et \(\vec{AE}\). Pour ce faire, l'utilisation de la relation de Chasles est indispensable. Il s'agit de décomposer chaque vecteur en une somme de vecteurs plus simples jusqu'à n'avoir que les vecteurs de la base. Par exemple, pour \(\vec{AK}\), on écrira \(\vec{AK} = \vec{AF} + \vec{FK}\), puis on décomposera \(\vec{AF}\) en \(\vec{AB} + \vec{BF}\), en utilisant les propriétés du pavé droit (\(\vec{BF} = \vec{AE}\), \(\vec{FG} = \vec{AD}\), etc.).
- La deuxième question guide vers la conclusion finale. Il est demandé de vérifier que la relation \(\vec{AK} = \vec{IH} + \vec{IJ}\) est vraie. En utilisant les expressions trouvées à la question précédente, cette vérification devient un simple calcul algébrique sur les composantes des vecteurs dans la base.
- La conclusion géométrique est l'objectif de la troisième question. La relation \(\vec{AK} = \vec{IH} + \vec{IJ}\) démontre que le vecteur directeur de la droite \((AK)\), qui est \(\vec{AK}\), est une combinaison linéaire de deux vecteurs du plan \((IJH)\), à savoir \(\vec{IH}\) et \(\vec{IJ}\). (Il est important de s'assurer que \(\vec{IH}\) et \(\vec{IJ}\) ne sont pas colinéaires pour qu'ils définissent bien un plan). Cette condition est la définition vectorielle du parallélisme entre une droite et un plan. On en déduit donc que la droite \((AK)\) est parallèle au plan \((IJH)\).
- Le point bonus demande de prouver que le parallélisme est strict, c'est-à-dire que la droite \((AK)\) n'est pas incluse dans le plan \((IJH)\). Pour cela, il suffit de démontrer qu'un point de la droite n'appartient pas au plan. Le plus simple est de vérifier si le point \(A\) appartient au plan \((IJH)\). Si ce n'est pas le cas, le parallélisme est bien strict.