Analyse du Contrôle de Mathématiques sur la Dérivation Locale (Première Spécialité)

Ce sujet de mathématiques de niveau Première spécialité est un contrôle d'une heure portant sur le chapitre de la dérivation locale. Il est conçu pour évaluer la compréhension des concepts fondamentaux tels que le taux de variation, le nombre dérivé et l'équation de la tangente, à la fois par le calcul et par lecture graphique. La calculatrice étant interdite, l'accent est mis sur la maîtrise des techniques de calcul et l'interprétation visuelle. Ce contrôle corrigé est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant consolider leurs acquis.

Exercice 1 : QCM sur les Fondamentaux de la Dérivation

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) en 5 points qui balaye les définitions et applications de base de la dérivation locale. La fonction étudiée est un polynôme du second degré, \(f(x) = 3x^2 - 2\).

• Question 1 : Évalue la connaissance de la définition formelle du taux de variation entre deux points. La bonne réponse est l'expression \(\tau(h) = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}\).
• Question 2 : Demande le calcul explicite de ce taux de variation. Il fallait développer \(f(1+h)\), simplifier l'expression pour trouver que \(\tau(h) = 3h + 6\).
• Question 3 : Porte sur le calcul du nombre dérivé en \(x=1\). En faisant tendre \(h\) vers 0 dans l'expression précédente, on obtient \(f'(1) = 6\).
• Question 4 : Met en jeu l'équation de la tangente. En admettant que \(f'(-1) = -6\), il faut utiliser l'équation \(y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)\) pour vérifier si la tangente passe par certains points ou quelle est son ordonnée à l'origine.
• Question 5 : Inverse la logique : à partir de l'équation d'une tangente \(y = 3x - 5\) au point d'abscisse 3, il faut identifier le nombre dérivé \(k'(3)\) (le coefficient directeur) et l'ordonnée du point de tangence \(k(3)\).

Exercice 2 : Étude d'une Fonction Rationnelle et de ses Tangentes

Cet exercice de 6 points se concentre sur une fonction rationnelle simple, \(g(x) = \frac{2}{x-2}\), dont la courbe est fournie. Il mêle calcul et interprétation graphique.

• Question 1 : Demande de démontrer que la fonction \(g\) est dérivable en 1 et de calculer son nombre dérivé \(g'(1)\). Cela peut se faire via la limite du taux de variation ou, plus directement, en utilisant la formule de dérivation d'un quotient, menant à \(g'(1) = -2\).
• Question 2 : Est une tâche purement graphique. Il faut d'abord calculer les coordonnées du point A d'abscisse 3, soit \(A(3, 2)\), le placer sur le graphique, puis tracer la tangente en ce point en utilisant le nombre dérivé donné, \(g'(3) = -2\), qui correspond à la pente de la droite.
• Question 3 : Revient à un calcul classique de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse -1, en utilisant la valeur fournie de \(g'(-1)\).

Exercice 3 : Analyse Graphique et Algébrique d'une Fonction Polynôme

Cet exercice, le plus complet avec 9 points, porte sur une fonction cubique \(f(x) = x^3 - 2x^2 - 1\). Le cœur de l'exercice est la lecture graphique des informations liées aux tangentes et au nombre dérivé.

• Question 1 : Consiste à remplir un tableau en lisant sur le graphique les informations relatives à trois points de tangence A, B et C. Pour chaque point, il faut identifier son abscisse \(a\), son ordonnée \(f(a)\), et le nombre dérivé \(f'(a)\) qui est la pente de la tangente en ce point. Par exemple, au point B, la tangente \(T_2\) est horizontale, ce qui signifie que \(f'(0)=0\).
• Question 2 : Demande de déterminer graphiquement l'équation réduite des tangentes \(T_1\) et \(T_2\). Cela implique de lire le coefficient directeur (pente) et l'ordonnée à l'origine de chaque droite sur le graphique.
• Question 3 : Fait appel au calcul pour déterminer l'équation de la tangente \(T_3\). Il faut d'abord calculer la fonction dérivée \(f'(x) = 3x^2 - 4x\), puis l'évaluer au point d'abscisse de C pour trouver la pente, et enfin appliquer la formule de l'équation de la tangente.