Ce sujet de Bac Blanc de mathématiques pour la Première spécialité est une excellente préparation à l'épreuve anticipée. D'une durée de 2 heures, il balaye plusieurs chapitres clés du programme : les automatismes, les suites numériques, les probabilités conditionnelles et l'étude de fonctions via la dérivation. Ce contrôle corrigé est conçu pour évaluer la maîtrise des raisonnements, la clarté de la rédaction et la capacité à appliquer les théorèmes fondamentaux.

Découvrez une analyse détaillée de chaque exercice pour renforcer vos compétences et aborder sereinement vos futures évaluations. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première spécialité, Suites, Dérivation, Probabilités conditionnelles, Bac Blanc.

Partie 1 : Automatismes (QCM)

Cette première partie, notée sur 6 points, est un QCM visant à tester la rapidité et la justesse des connaissances de base. Aucune justification n'est demandée, seule la réponse compte.

• Question 1 : Il s'agit de trouver la forme factorisée du polynôme du second degré \(f(x) = 2x^2 + 6x - 8\). Cela implique de calculer le discriminant, trouver les racines \(x_1\) et \(x_2\), puis d'utiliser la forme \(a(x-x_1)(x-x_2)\).
• Question 2 : Un problème classique de proportionnalité. Si 50 élèves représentent 4% du total, on résout une simple équation pour trouver l'effectif total du lycée.
• Questions 3 & 4 : Comparaison de nombres sous différentes formes (fractions, décimaux, puissances). Il faut tout convertir sous une forme commune pour les ordonner correctement.
• Question 8 : Résolution d'une équation du second degré incomplète, \(3x = 4x^2\), qui se ramène à une équation produit nul \(x(4x-3)=0\).
• Questions 9 & 10 : Maîtrise des pourcentages d'évolution. Il faut savoir calculer un coefficient multiplicateur pour une diminution (\(1 - t/100\)) et pour des augmentations successives (\((1+t_1/100)(1+t_2/100)\)).
• Question 12 : Lecture graphique du nombre dérivé. La question demande d'identifier la valeur de \(f'(0)\) en calculant la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Exercice 1 : Suites Numériques (5 points)

Cet exercice est une application concrète des suites géométriques pour modéliser une situation économique : la baisse de fréquentation d'un cinéma.

• On définit la suite \((u_n)\) représentant le nombre d'entrées l'année \(2020+n\). Le terme initial est \(u_0 = 200 000\).
• Démonstration de la nature de la suite : Une diminution de 10% par an se traduit par une multiplication par un coefficient multiplicateur de \(1 - 10/100 = 0.9\). On montre que \(u_{n+1} = 0.9 \times u_n\), ce qui prouve que la suite est géométrique de raison \(q=0.9\).
• Forme explicite : On en déduit l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) : \(u_n = u_0 \times q^n = 200 000 \times 0.9^n\).
• Calcul de termes et de somme : L'exercice demande de calculer le nombre d'entrées en 2025 (soit \(u_5\)) puis le nombre total d'entrées entre 2020 et 2030. Ce dernier calcul nécessite l'utilisation de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : \(S = u_0 \frac{1-q^{11}}{1-q}\).
• Algorithmique : La dernière question introduit un seuil et demande de déterminer à partir de quand le nombre d'entrées sera inférieur à 100 000. Pour cela, il faut compléter un programme Python avec une boucle `while` qui s'arrête lorsque la condition sur \(U\) est remplie.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles (4 points)

Cet exercice aborde les probabilités conditionnelles, un chapitre essentiel de la classe de Première. La situation est classique (choix d'épreuves sportives, statut licencié ou non) et se modélise parfaitement avec un arbre pondéré.

• Construction d'un arbre pondéré : La première étape consiste à traduire les données de l'énoncé (\(P(R)\), \(P(L|R)\), etc.) en un arbre de probabilités.
• Calcul d'intersections et probabilités totales : On utilise les branches de l'arbre pour calculer la probabilité d'une intersection, par exemple \(P(R \cap L) = P(R) \times P_R(L)\). Ensuite, la formule des probabilités totales permet de trouver la probabilité d'être licencié, \(P(L) = P(R \cap L) + P(C \cap L)\).
• Inversion de conditionnement : La question 4 est un exemple typique d'inversion des probabilités conditionnelles. On cherche \(P_L(C)\), la probabilité d'avoir choisi le cross sachant que le participant est licencié. On l'obtient avec la formule : \(P_L(C) = \frac{P(C \cap L)}{P(L)}\).
• Indépendance : Pour conclure, on vérifie si les événements "choisir la randonnée" et "être licencié" sont indépendants. Il faut pour cela comparer \(P(R \cap L)\) avec le produit \(P(R) \times P(L)\). Si les deux valeurs sont égales, les événements sont indépendants, sinon ils sont dépendants.

Exercice 3 : Étude de fonction et dérivation (5 points)

Ce dernier exercice est une analyse complète d'une fonction polynôme du troisième degré, \(f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2\), et de sa position par rapport à une autre courbe.

• Dérivée et sens de variation : On commence par calculer la dérivée \(f'(x) = 9x^2 - 10x\). L'étude du signe de ce trinôme du second degré (calcul du discriminant, des racines) permet de construire le tableau de variation complet de la fonction \(f\).
• Équation de la tangente : On applique la formule de l'équation de la tangente en un point d'abscisse \(a\) : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\). Ici, avec \(a=-1\), on calcule \(f(-1)\) et \(f'(-1)\) pour trouver l'équation réduite de la tangente \(T\).
• Position relative de deux courbes : La dernière partie demande d'étudier la position de la courbe \(C_f\) par rapport à la courbe \(C_g\) d'une fonction \(g(x) = 3x^3 - 4x + 1\). Pour cela, on étudie le signe de la différence \(d(x) = f(x) - g(x) = -5x^2 + 4x + 1\). Le signe de ce polynôme du second degré nous indique quand \(C_f\) est au-dessus (\(d(x)>0\)), en dessous (\(d(x)<0\)) ou coupe (\(d(x)=0\)) la courbe \(C_g\).