On reprend la formule développée en ajoutant les doublets non liants : chaque atome d'oxygène porte deux doublets non liants ; les atomes de carbone et d'hydrogène n'en portent pas.

Chaque atome C et O est ainsi entouré de quatre doublets (règle de l'octet), chaque atome H d'un seul (règle du duet).

Une espèce amphotère est à la fois l'acide d'un couple et la base d'un autre couple.

L'ion $\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_5\mathrm{O}{}_3{}^{-}$ est la base du couple $\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_6\mathrm{O}{}_3/\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_5\mathrm{O}{}_3{}^{-}$ et l'acide du couple $\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_5\mathrm{O}{}_3{}^{-}/\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_4\mathrm{O}{}_3{}^{2-}$.

La solution est saturée lorsque la concentration en masse du soluté dissous atteint la solubilité $s$. La masse minimale à peser est donc celle qui se dissout dans le volume $V$ :

$$m_{\min }=s\times V=2,24\times 0,200=0,448\text{g}$$

Dans la solution saturée, la concentration en masse apportée est égale à $s$. La concentration en quantité de matière s'en déduit :

$$C=\frac{s}{M}=\frac{2,24}{138}=1,62\times 10^{-2}\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$$

Vérification : $C=\frac{m_{\min }}{M\times V}=\frac{0,448}{138\times 0,200}$ donne la même valeur.

L'acide salicylique cède un ion $\mathrm{H}{}^{+}$ à l'eau, qui joue le rôle de base (couple $\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}/\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$) :

Concentration en ions oxonium à l'équilibre :

$$[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}=c^{\circ }\times 10^{-\text{pH}}=10^{-2,4}=4,0\times 10^{-3}\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$$

Si l'acide était fort, sa réaction avec l'eau serait totale et on aurait $[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}]=C=1,62\times 10^{-2}\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$, soit $\text{pH}=-\log (C/c^{\circ })=1,8$.

Or $[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}<C$ (le pH mesuré est supérieur à 1,8). Le taux d'avancement final vaut

$$\tau =\frac{[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}}{C}=\frac{4,0\times 10^{-3}}{1,62\times 10^{-2}}=0,25<1$$

$$K_{A1}=\frac{[\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_5\mathrm{O}{}_3{}^{-}{]}_{\text{eˊq}}\times [\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}}{[\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_6\mathrm{O}{}_3{]}_{\text{eˊq}}\times c^{\circ }}$$

D'après l'équation de la réaction (Q5), il se forme autant d'ions salicylate que d'ions oxonium, et l'acide restant est celui qui n'a pas réagi :

• $[\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_5\mathrm{O}{}_3{}^{-}{]}_{\text{eˊq}}=[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}=3,98\times 10^{-3}\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$ ;
• $[\mathrm{C}{}_7\mathrm{H}{}_6\mathrm{O}{}_3{]}_{\text{eˊq}}=C-[\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}=1,62\times 10^{-2}-3,98\times 10^{-3}=1,22\times 10^{-2}\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

$$K_{A1}=\frac{(3,98\times 10^{-3}{)}^2}{1,22\times 10^{-2}\times 1}=1,3\times 10^{-3}\text{p}{K}_{A1}=-\log K_{A1}=2,9$$

Commentaire : cette valeur est très proche de la valeur tabulée 3,0 (écart de 0,1). Le pH n'est donné qu'au dixième près : avec $\text{pH}=2,45$, le même calcul donne 3,0. Le résultat est donc cohérent avec la donnée.

L'acide d'un couple prédomine pour $\text{pH}<\text{p}{K}_A$, sa base conjuguée pour $\text{pH}>\text{p}{K}_A$. D'où trois domaines, séparés par 3,0 et 13,6 (diagramme ci-dessous).

Pour le collyre : $\text{p}{K}_{A1}=3,0<\text{pH}=7,0<\text{p}{K}_{A2}=13,6$.

Le domaine du visible correspond aux longueurs d'onde comprises entre 400 nm et 800 nm.

D'après le spectre, la solution n'absorbe que pour $\lambda <350\text{nm}$ environ, c'est-à-dire dans l'ultraviolet ; son absorbance est nulle entre 400 nm et 800 nm.

Concentration en masse annoncée du collyre : $C_{m,\text{notice}}=1\text{mg}\cdot {\text{mL}}^{-1}=1\times 10^3\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

La gamme d'étalonnage ne dépasse pas $80\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$ : le collyre est plus de dix fois trop concentré. Son absorbance serait très supérieure à 2, hors de la courbe et hors du domaine où le spectrophotomètre mesure correctement (et où la loi de Beer-Lambert est vérifiée).

Lecture graphique. Sur la droite d'étalonnage, l'ordonnée $A=1,27$ correspond à l'abscisse $C_{m,\text{dilueˊ}}=49\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

Vérification : la droite passe par l'origine et par le point $(85;2,20)$, de coefficient directeur $k=\frac{2,20}{85}=0,0259\text{L}\cdot {\text{mg}}^{-1}$ ; $\frac{A}{k}=\frac{1,27}{0,0259}=49\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

Incertitude de lecture. L'axe des abscisses est gradué tous les $1\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$ : on prend $u(C_{m,\text{dilueˊ}})=1\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

Collyre. Il a été dilué 20 fois :

$C_m=20\times C_{m,\text{dilueˊ}}=20\times 49=980\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$ $u(C_m)=20\times u(C_{m,\text{dilueˊ}})=20\text{mg}\cdot {\text{L}}^{-1}$

Comparaison à la notice.

$$\left|\frac{C_m-C_{m,\text{notice}}}{u(C_m)}\right|=\frac{|980-1000|}{20}=1,0$$

Le quotient est inférieur à 2 : l'écart à la valeur de référence est de l'ordre d'une incertitude-type.

Les espèces manipulées sont corrosives, toxiques ou nocives, et l'anhydride éthanoïque est inflammable ; l'acide sulfurique ajouté est lui aussi corrosif.

• Porter une blouse fermée, des lunettes de protection et des gants.
• Travailler sous hotte aspirante, pour ne pas respirer les vapeurs d'anhydride éthanoïque.
• Tenir l'anhydride éthanoïque éloigné de toute flamme ou étincelle : chauffage électrique (chauffe-ballon ou plaque chauffante).

• Le chauffage élève la température du mélange réactionnel : la température est un facteur cinétique, la transformation est plus rapide.
• Le réfrigérant condense les vapeurs, qui retombent dans le mélange : on chauffe sans perte de matière (réactifs ou produits) et sans rejeter de vapeurs nocives dans la salle.

Étape A : les réactifs sont mis en présence et chauffés à reflux avec un catalyseur ; c'est la transformation chimique, c'est-à-dire la synthèse proprement dite.

Étape B : on fait cristalliser l'aspirine, on la sépare du mélange par filtration sur Büchner, on la rince et on la sèche ; c'est l'isolement du produit brut.

La solubilité de l'aspirine dans l'eau diminue lorsque la température diminue. Déjà peu soluble à 25 °C, l'aspirine l'est encore moins à froid.

• L'ajout d'eau froide et le bain de glace font donc cristalliser le maximum d'aspirine, qui est récupérée sous forme solide par filtration.
• Le rinçage à l'eau froide élimine les impuretés solubles dans l'eau en dissolvant le moins possible de cristaux.

• Le dépôt C donne une seule tache : le produit synthétisé ne contient qu'une seule espèce chimique détectable.
• Cette tache est à la même hauteur que celle du dépôt B (aspirine commerciale) : deux espèces qui migrent à la même hauteur dans les mêmes conditions sont identiques ; le produit est de l'aspirine.
• Le dépôt C ne présente pas de tache à la hauteur de celle du dépôt A : il ne contient pas d'acide salicylique.

Quantités de matière initiales :

• acide salicylique : $n_1=\frac{m}{M}=\frac{2,0}{138}=1,4\times 10^{-2}\text{mol}$ ;
• anhydride éthanoïque : $n_2=\frac{\rho \times V}{M^{\prime }}=\frac{1,08\times 3,0}{102}=3,2\times 10^{-2}\text{mol}$.

Les nombres stœchiométriques des deux réactifs valent 1 : on compare directement $n_1$ et $n_2$. Comme $n_1<n_2$, l'acide salicylique est le réactif limitant (l'anhydride éthanoïque est en excès).

La transformation est totale et une mole d'acide salicylique donne une mole d'aspirine : $n_{\text{asp}}=x_{\max }=n_1$.

$$m_{\text{theˊo}}=n_1\times M_{\text{asp}}=\frac{m}{M}\times M_{\text{asp}}=\frac{2,0}{138}\times 180=2,6\text{g}$$

$$\eta =\frac{m_{\text{exp}}}{m_{\text{theˊo}}}=\frac{2,2}{2,61}=0,84$$

Commentaire : le rendement est élevé, mais inférieur à 100 % alors que la transformation est totale. Les pertes ont lieu pendant l'isolement : une partie de l'aspirine reste dissoute dans le filtrat et dans l'eau de rinçage, une autre reste sur la verrerie et le papier filtre.

Voir le schéma : la Terre de centre O, l'orbite circulaire de rayon $R_S$ et l'ISS au point S.

${\vec{u}}_T$ : vecteur unitaire tangent à la trajectoire en S, dans le sens du mouvement.

${\vec{u}}_N$ : vecteur unitaire perpendiculaire à ${\vec{u}}_T$, dirigé de S vers le centre O.

La force est portée par la droite (SO), dirigée de S vers O, de valeur $\frac{Gm{M}_T}{R_S^2}$ : elle est selon $+{\vec{u}}_N$.

Sur le schéma, $\vec{F}$ a pour origine S et pointe vers O.

Système {ISS}, de masse $m$ constante ; référentiel géocentrique supposé galiléen ; seule force : $\vec{F}$ (Q2).

Deuxième loi de Newton : $\vec{F}=m{\vec{a}}_S$, soit $\frac{Gm{M}_T}{R_S^2}{\vec{u}}_N=m{\vec{a}}_S$, donc

$${\vec{a}}_S=\frac{G{M}_T}{R_S^2}{\vec{u}}_N$$

Or, dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire de rayon $R_S$ : ${\vec{a}}_S=\frac{\mathrm{d}{v}_S}{\mathrm{d}t}{\vec{u}}_T+\frac{v_S^2}{R_S}{\vec{u}}_N$.

Par identification selon ${\vec{u}}_T$ : $\frac{\mathrm{d}{v}_S}{\mathrm{d}t}=0$, donc la valeur $v_S$ de la vitesse est constante.

Par identification selon ${\vec{u}}_N$ des deux expressions de ${\vec{a}}_S$ (Q3) : $\frac{v_S^2}{R_S}=\frac{G{M}_T}{R_S^2}$, donc

$$v_S=\sqrt{\frac{G{M}_T}{R_S}}$$

Avec $R_S=6,771\times 10^6$ m :

$$v_S=\sqrt{\frac{6,67\times 10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}}{6,771\times 10^6}}=7,67\times 10^3\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

Le mouvement est uniforme : pendant une période $T$, l'ISS parcourt la circonférence $2\pi R_S$ à la vitesse $v_S$.

$$T=\frac{2\pi R_S}{v_S}=2\pi R_S\sqrt{\frac{R_S}{G{M}_T}}$$

En élevant au carré : $T^2=4{\pi }^2{R}_S^2\times \frac{R_S}{G{M}_T}=\frac{4{\pi }^2{R}_S^3}{G{M}_T}$

Période de révolution, d'après Q5 : $T=2\pi \sqrt{\frac{R_S^3}{G{M}_T}}$

$$T=2\pi \sqrt{\frac{(6,771\times 10^6{)}^3}{6,67\times 10^{-11}\times 5,97\times 10^{24}}}=5,55\times 10^3\text{s}$$

soit environ 92 min.

Durée de la mission : $\Delta t=200\times 24\times 3600=1,728\times 10^7$ s.

Nombre de rotations : $N=\frac{\Delta t}{T}=\frac{1,728\times 10^7}{5,55\times 10^3}$

Lunette afocale : le foyer image $F_1^{\prime }$ de l'objectif est confondu avec le foyer objet $F_2$ de l'oculaire.

Objectif : $\overline{O_1{F}_1^{\prime }}=f_1^{\prime }=40$ cm, soit 8 carreaux. $F_1^{\prime }$ est 8 carreaux à droite de $O_1$ et $F_1$ est 8 carreaux à gauche de $O_1$.

Oculaire : $f_2^{\prime }=5,0$ cm, soit 1 carreau. $F_2$ est 1 carreau à gauche de $O_2$ et $F_2^{\prime }$ est 1 carreau à droite de $O_2$.

Vérification : $O_1{O}_2=f_1^{\prime }+f_2^{\prime }=45$ cm, soit 9 carreaux, ce qui correspond à l'annexe.

L'objet est à l'infini : son image $A_1{B}_1$ par l'objectif se forme dans le plan focal image de l'objectif, avec $A_1$ en $F_1^{\prime }$.

Le rayon issu de $B_{\infty }$ passant par $O_1$ n'est pas dévié : $B_1$ est à son intersection avec la perpendiculaire à l'axe passant par $F_1^{\prime }$.

Le second rayon issu de $B_{\infty }$ émerge de l'objectif en passant par $B_1$. Les deux rayons sont prolongés jusqu'à l'oculaire.

$A_1{B}_1$ est dans le plan focal objet de l'oculaire : l'image finale est à l'infini. Les rayons émergent parallèles entre eux, parallèles à la droite $(B_1{O}_2)$ tracée en pointillés.

${\theta }^{\prime }$ est l'angle entre l'axe optique et les rayons émergents.

Le grossissement est le rapport de l'angle sous lequel on voit l'image à travers la lunette à l'angle sous lequel on voit l'objet à l'œil nu.

Avec l'oculaire (OcA) : $G_A=\frac{400}{50}=8,0$

Avec l'oculaire (OcB) : $G_B=\frac{400}{20}=20$

Cas le plus favorable : l'ISS passe à la verticale de l'observateur, à la distance $D=400\text{km}=4,00\times 10^5$ m. Les deux extrémités sont distantes de $h=108$ m.

D'après la figure 1, avec l'approximation des petits angles, l'angle sous lequel on voit l'ISS à l'œil nu est :

$$\theta \approx \tan \theta =\frac{h}{D}=\frac{108}{4,00\times 10^5}=2,7\times 10^{-4}\text{rad}$$

$\theta <\epsilon$ : à l'œil nu, les deux extrémités ne sont pas distinguées, l'ISS apparaît comme un point.

À travers la lunette, l'angle devient ${\theta }^{\prime }=G\theta$ (Q9) :

• oculaire (OcA) : ${\theta }_A^{\prime }=8,0\times 2,7\times 10^{-4}=2,2\times 10^{-3}$ rad ;
• oculaire (OcB) : ${\theta }_B^{\prime }=20\times 2,7\times 10^{-4}=5,4\times 10^{-3}$ rad.

Dans les deux cas ${\theta }^{\prime }>\epsilon$ : environ 7 fois $\epsilon$ avec (OcA) et 19 fois avec (OcB).

Faisabilité : l'ISS se déplace à $7,67\text{km}\cdot {\text{s}}^{-1}$ à 400 km de l'observateur. Sa direction tourne donc d'environ $\frac{v_S}{D}=1,9\times 10^{-2}\text{rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$, soit à peu près 1° par seconde, et elle traverse le ciel en quelques minutes. Il est difficile de la garder dans le champ étroit de la lunette, d'autant plus que le grossissement est fort. De plus la distance est le plus souvent supérieure à 400 km et la station doit être éclairée par le Soleil dans un ciel sombre.

Poussée d'Archimède : $F_A={\rho }_{\text{air}}\cdot V_{\text{puce}}\cdot g=1,20\times 4,19\times 10^{-9}\times 9,81=4,93\times 10^{-8}\text{N}$

Poids : $P=m\cdot g=1,00\times 10^{-6}\times 9,81=9,81\times 10^{-6}\text{N}$

Rapport : $\frac{P}{F_A}=\frac{9,81\times 10^{-6}}{4,93\times 10^{-8}}=199$

Schéma ci-dessous : la puce part de O ; ${\vec{v}}_0$ est dirigé vers le haut et vers la droite, tangent à la trajectoire en O ; $\alpha$ est l'angle entre l'axe (Ox) et ${\vec{v}}_0$.

Système {puce}, de masse $m$ constante, assimilé à son centre de masse ; référentiel terrestre supposé galiléen.

Bilan des forces : le poids $\vec{P}=m\vec{g}$ seulement (frottements de l'air négligés, poussée d'Archimède négligeable d'après Q1).

Deuxième loi de Newton : $\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}=m\vec{a}$, soit $m\vec{g}=m\vec{a}$, donc $\vec{a}=\vec{g}$.

Le vecteur $\vec{g}$ est vertical, dirigé vers le bas, et l'axe (Oy) est orienté vers le haut :

Comme $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$, on cherche les primitives de $a_x=0$ et $a_y=-g$ : $v_x(t)=C_1{v}_y(t)=-gt+C_2$

À $t=0$, $\vec{v}(0)={\vec{v}}_0$ de coordonnées $v_0\cos (\alpha )$ et $v_0\sin (\alpha )$, donc $C_1=v_0\cos (\alpha )$ et $C_2=v_0\sin (\alpha )$ :

$$v_x(t)=v_0\cos (\alpha )v_y(t)=-gt+v_0\sin (\alpha )$$

Comme $\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}$, on prend de nouveau les primitives : $x(t)=v_0\cos (\alpha )t+C_{3}y(t)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_0\sin (\alpha )t+C_4$

À $t=0$, la puce est en O : $x(0)=0$ et $y(0)=0$, donc $C_3=0$ et $C_4=0$.

On élimine le temps. D'après $x(t)=v_0\cos (\alpha )t$ : $t=\frac{x}{v_0\cos (\alpha )}$

On remplace dans $y(t)$ :

$$y=-\frac{1}{2}g{\left(\frac{x}{v_0\cos (\alpha )}\right)}^2+v_0\sin (\alpha )\cdot \frac{x}{v_0\cos (\alpha )}$$

Or $\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\tan (\alpha )$, donc :

La puce retombe sur le sol quand $y=0$ avec $x=p\ne 0$ :

$$-\frac{1}{2}g\frac{p^2}{v_0^2{\cos }^2(\alpha )}+\tan (\alpha )p=0$$

On divise par $p$ (non nul) : $\frac{1}{2}g\frac{p}{v_0^2{\cos }^2(\alpha )}=\tan (\alpha )$, soit $p=\frac{2v_0^2{\cos }^2(\alpha )\tan (\alpha )}{g}$.

Comme ${\cos }^2(\alpha )\tan (\alpha )=\sin (\alpha )\cos (\alpha )$ :

Avec $\alpha =45°$ : $\sin (2\alpha )=\sin (90°)=1$.

$$p=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}=\frac{1,90^2\times 1}{9,81}=0,368\text{m}$$

Commentaire : le volume de la puce est celui d'une boule de rayon 1,00 mm, donc de 2 mm de diamètre environ. La portée vaut près de 200 fois la taille de la puce : c'est un saut considérable à son échelle.

Ligne 6 : « v0 = 1.90 # valeur de la vitesse initiale en m/s »

Ligne 9 : « alpha = 45 * np.pi / 180 # en radian »

La ligne 15 calcule $x=\frac{2v_0^2\sin (\alpha )\cos (\alpha )}{g}$ : c'est l'expression de la portée établie à la question Q6.

Incertitude-type arrondie à deux chiffres significatifs : $u(p)=0,084\text{m}$.

Le dernier chiffre de l'incertitude-type est celui des millièmes de mètre : on arrondit la portée au millième de mètre.

On calcule le quotient donné par l'énoncé :

$$\frac{|p-p_{\text{ref}}|}{u(p)}=\frac{|0,368-0,179|}{0,084}=2,25$$

Ce quotient est supérieur à 2 : la portée du saut le plus long n'est pas compatible avec la portée de référence. C'est cohérent : la référence est la moyenne de tous les sauts, alors que ce saut est le meilleur de l'étude.

Énergies cinétiques en début de saut

Puce : $E_{c1}=\frac{1}{2}{m}_1{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 1,00\times 10^{-6}\times 1,90^2=1,81\times 10^{-6}\text{J}$

Sauteur : $E_{c2}=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2=\frac{1}{2}\times 70\times 6,0^2=1,3\times 10^3\text{J}$

Puissance développée durant l'impulsion

Avant l'impulsion, la puce comme l'athlète sont immobiles : l'énergie cinétique passe de 0 à $E_c$ pendant la durée $\Delta t$. La puissance moyenne développée est $\mathcal{P}=\frac{E_c}{\Delta t}$.

Puce : ${\mathcal{P}}_1=\frac{1,81\times 10^{-6}}{1,2\times 10^{-3}}=1,5\times 10^{-3}\text{W}$ Sauteur : ${\mathcal{P}}_2=\frac{1,3\times 10^3}{0,40}=3,2\times 10^3\text{W}$

Puissance par kilogramme de muscle

Masse de muscles : $0,11\times m_1=1,1\times 10^{-7}\text{kg}$ pour la puce ; $0,40\times m_2=28\text{kg}$ pour le sauteur.

Puce : $\frac{{\mathcal{P}}_1}{0,11m_1}=\frac{1,5\times 10^{-3}}{1,1\times 10^{-7}}=1,4\times 10^4\text{W}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

Sauteur : $\frac{{\mathcal{P}}_2}{0,40m_2}=\frac{3,2\times 10^3}{28}=1,1\times 10^2\text{W}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

Commentaire : le rapport des deux valeurs est d'environ 120. À masse de muscle égale, la puce développe une puissance plus de cent fois supérieure à celle du recordman du monde. Cela confirme le texte : la puce libère brusquement une énergie élastique stockée, ce que la seule contraction musculaire ne permet pas.