Corrigé interactif · 8 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Déterminer la valeur de l'accélération du véhicule sur la portion OP à partir de la figure 2 et caractériser le mouvement du véhicule.
La portion OP est une ligne droite. Sur la figure 2, pendant la phase « ligne droite », l'accélération est nulle : a=0 m⋅s−2.
Comme a=dtdv=0, le vecteur vitesse est constant : la valeur de la vitesse ne change pas.
a=0 m⋅s−2 sur OP : le mouvement du véhicule est rectiligne uniforme.
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Q2Écrire les lignes de programme permettant de calculer les coordonnées ax et ay du vecteur accélération.
Indice Dérivée numérique d'une grandeur g rangée dans une liste : (g[i+1]-g[i])/dt. Position → vitesse → accélération : la même ligne sert deux fois.
Chaque coordonnée de l'accélération est la dérivée de la coordonnée de la vitesse : ax=dtdvx et ay=dtdvy.
Le programme l'approche par la variation de la vitesse entre deux dates successives, divisée par la durée dt, comme il le fait aux lignes 11 et 12 pour la vitesse à partir des positions.
Ligne 18 : ax.append((vx[i+1]-vx[i])/dt) Ligne 19 : ay.append((vy[i+1]-vy[i])/dt)
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Q3À l'aide des valeurs du tableau, vérifier que la clothoïde permet « une augmentation linéaire dans le temps de l'accélération », en justifiant la méthode utilisée.
Données utiles tableau des valeurs de a de t=1,50 s à t=9,00 s ; accélération initiale nulle
Indice Deux façons de prouver une proportionnalité : un quotient constant, ou des points alignés sur une droite passant par l'origine (graphique ci-dessous). Une seule suffit, mais il faut la nommer.
L'accélération est nulle au départ : si elle augmente linéairement, elle est proportionnelle au temps, a=k×t. Méthode : calculer le quotient ta pour chaque date et vérifier qu'il reste constant.
t (s)a (m⋅s−2)a/t (m⋅s−3)1,500,15870,1063,000,32180,1074,500,48240,1076,000,64110,1077,500,80700,1089,000,95060,106
Le quotient varie de moins de 2 % d'une date à l'autre : il est constant aux incertitudes près.
ta≈0,107 m⋅s−3 à chaque date : a est proportionnelle à t, l'augmentation est bien linéaire.
a (m⋅s−2)t (s) Autre méthode : les points du tableau sont alignés avec l'origineTu avais trouvé ?
Q4Sur le schéma de l'annexe, tracer les vecteurs unitaires
uN et
uT du repère de Frenet au point M de la trajectoire en arc de cercle.
Indice Tracer d'abord le rayon MC à la règle :
uN est dessus,
uT lui est perpendiculaire (équerre).
Les deux vecteurs partent de M et ont la même longueur (norme égale à 1).
- uT est tangent à la trajectoire en M, dans le sens du mouvement (de S vers Q).
- uN est perpendiculaire à uT et dirigé vers le centre C du cercle : il est porté par le rayon MC.
Voir l'annexe : uT tangent en M et orienté vers Q, uN orienté de M vers C. Annexe (zoom sur l'arc de cercle) : repère de Frenet au point MTu avais trouvé ?
Q5Justifier que le vecteur accélération du véhicule entre les points S et Q s'exprime ainsi :
a=rv2uN.
Pour un mouvement circulaire de rayon r, le vecteur accélération s'écrit dans le repère de Frenet :
a=rv2uN+dtdvuT
Entre S et Q, la valeur de la vitesse est constante (v=15,0 m⋅s−1), donc dtdv=0 : le mouvement est circulaire uniforme.
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Q6Sur le schéma de l'annexe, représenter le vecteur accélération
a au point M, à l'échelle 1,0 cm pour
1,0 m⋅s−2.
Données utiles v=15,0 m⋅s−1 ; r=75,0 m
Valeur de l'accélération : a=rv2=75,015,02=3,00 m⋅s−2.
À l'échelle 1,0 cm pour 1,0 m⋅s−2, la flèche mesure 3,0 cm. Elle part de M, a la direction et le sens de uN : elle pointe vers C.
a=3,00 m⋅s−2 : flèche de 3,0 cm, tracée de M vers C.
Annexe complétée, reproduite en réduction : sur l'annexe du sujet, la flèche de a mesure 3,0 cmTu avais trouvé ?
Q7Indiquer, en justifiant, le numéro du schéma qui représente correctement les trois forces, en s'appuyant sur les caractéristiques du vecteur accélération.
Indice La somme des forces a toujours la direction et le sens de
a. Trouver
a d'abord, puis éliminer les schémas un critère à la fois.
Système : le véhicule, de masse m ; référentiel terrestre supposé galiléen. Deuxième loi de Newton : P+R+f=ma.
D'après Q.5, a est horizontal et dirigé vers C.
- Verticalement, l'accélération est nulle : P+R=0. Les flèches de P et R sont opposées et de même longueur, ce qui élimine les schémas 1 et 4 (R plus courte que P).
- Il reste f=ma : f est horizontale et dirigée vers C, ce qui élimine le schéma 2 (f verticale) et le schéma 3 (f à l'opposé de C).
Le schéma 5 convient : P et R se compensent, f pointe vers C comme a. Tu avais trouvé ?
Q8Dans le cas du virage étudié, choisir parmi les panneaux de limitation de vitesse (50, 70, 90 ou 110) celui qui devrait être placé avant le point O. Expliquer le raisonnement.
Données utiles m=1200 kg ; r=75,0 m ; force de frottement maximale : 10400 N sur chaussée sèche, 7200 N sur chaussée humide ; f=ma (Q.7)
D'après Q.7 et Q.5, la force de frottement nécessaire pour suivre le virage vaut f=ma=rmv2.
Le véhicule ne dérape pas tant que f<fmax, soit rmv2<fmax, donc v<mrfmax.
Chaussée sèche : v<120075,0×10400=25,5 m⋅s−1, soit 25,5×3,6=91,8 km⋅h−1.
Chaussée humide : v<120075,0×7200=21,2 m⋅s−1, soit 21,2×3,6=76,4 km⋅h−1.
Le panneau doit protéger l'usager quel que soit l'état de la route : la vitesse doit rester inférieure à 76 km⋅h−1. Le panneau 90 ne convient que sur route sèche ; le panneau 50 est inutilement restrictif.
Panneau 70 : à 70 km⋅h−1, le véhicule ne dérape ni sur chaussée sèche ni sur chaussée humide.
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Un virage routier analysé avec la mécanique de terminale
Le deuxième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Amérique du Nord (jour 1) vaut 5 points, soit une cinquantaine de minutes. Il s'intéresse au raccordement entre une ligne droite et un virage en arc de cercle, par l'intermédiaire d'une courbe appelée clothoïde. En huit questions, il mobilise le vecteur accélération, un programme Python, le repère de Frenet, le mouvement circulaire uniforme et la deuxième loi de Newton, jusqu'au choix d'une limitation de vitesse.
Ligne droite et programme Python (Q1 et Q2)
Sur la portion OP, la figure montre une accélération nulle : le vecteur vitesse est constant et le mouvement est rectiligne uniforme. Écrire seulement « uniforme » ne suffit pas, car caractériser un mouvement demande la trajectoire et l'évolution de la vitesse. En Q2, on complète les lignes 18 et 19 du programme par une dérivée numérique, ax.append((vx[i+1]-vx[i])/dt) et la ligne analogue pour ay. Le piège est de recopier les lignes de calcul de la vitesse sans changer les listes, ou de diviser par t[i] au lieu de dt.
La clothoïde et la proportionnalité (Q3)
L'accélération étant nulle au départ, une augmentation linéaire signifie une proportionnalité au temps. La méthode la plus directe consiste à calculer le quotient a/t pour chaque date du tableau : il reste voisin de 0,107 m·s-3, avec des écarts inférieurs à 2 %. Tracer a en fonction de t et constater une droite passant par l'origine serait aussi valable, à condition de nommer la méthode choisie.
Repère de Frenet et accélération centripète (Q4 à Q6)
Au point M, le vecteur uT est tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, de S vers Q ; le vecteur uN est porté par le rayon et dirigé vers le centre C. Entre S et Q, la vitesse garde la valeur 15,0 m·s-1 : la dérivée dv/dt est nulle et l'accélération se réduit à v²/r selon uN. Une vitesse de valeur constante ne signifie donc pas une accélération nulle. Avec r = 75,0 m, on trouve a = 3,00 m·s-2, soit une flèche de 3,0 cm dirigée de M vers C à l'échelle imposée.
Forces et choix du panneau (Q7 et Q8)
D'après la deuxième loi de Newton, la somme des forces a la direction et le sens de l'accélération. Le poids et la réaction de la route se compensent verticalement, et la force de frottement doit être horizontale et dirigée vers C : seul le schéma 5 convient. En Q8, la condition de non-dérapage m·v²/r < fmax donne une vitesse limite de 91,8 km/h sur chaussée sèche et de 76,4 km/h sur chaussée humide. C'est le cas le plus défavorable qui fixe la limitation : le panneau 70 s'impose, le panneau 90 ne protégeant l'usager que sur route sèche.
Pièges et conseils
Les erreurs fréquentes portent sur l'orientation des vecteurs de Frenet, la confusion entre l'échelle des accélérations et l'échelle des distances de l'annexe, et l'oubli de la conversion par 3,6 entre m/s et km/h. Pour les questions à schémas, éliminez les propositions une à une, un critère à la fois, en citant le vecteur accélération. Le corrigé détaillé reprend chaque étape avec les calculs et les tracés attendus.