Ingenuity, le premier hélicoptère à voler sur Mars : un exercice de mécanique et d'électricité

L'exercice 1 du sujet Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 1) est l'exercice commun de 10 points, prévu pour environ 1 h 45. Il suit le petit hélicoptère Ingenuity, déposé sur Mars, à travers quatre parties : la masse volumique de l'atmosphère, la vitesse de rotation des pales, une chute libre accidentelle et un altimètre à condensateur. Il mobilise ainsi la loi des gaz parfaits, la deuxième loi de Newton et le circuit RC, trois chapitres centraux du programme de terminale.

Les passages clés, partie par partie

Partie A : la masse volumique de l'atmosphère

On part de la définition ρ = m/V, avec m = nM, puis on utilise l'équation d'état PV = nRT pour obtenir ρ_Terre = PM/(RT). L'application numérique à 15 °C donne 1,23 kg·m^-3, à condition de convertir la température en kelvins. Sur Mars, la masse volumique vaut 1 % de cette valeur, soit 1,23 × 10^-2 kg·m^-3. La question A.4 demande d'expliquer le « défi » : la portance est divisée par 100 alors que le poids n'est divisé que par environ 2,6. C'est la comparaison de ces deux facteurs qui fait la réponse.

Partie B : la vitesse de rotation minimale des pales

Question ouverte : l'hélicoptère décolle quand la portance égale son poids. On calcule P = mg sur chaque planète (18 N sur Terre, 6,7 N sur Mars) puis on lit sur chaque graphique la vitesse correspondante : environ 400 tours par minute sur Terre et environ 2 450 sur Mars. Les pales doivent donc tourner environ 6 fois plus vite sur Mars, alors que l'engin y est plus léger.

Partie C : la chute libre

La deuxième loi de Newton donne a_z = -g_M, l'axe étant orienté vers le haut. Deux intégrations successives, avec les conditions initiales v_z(0) = 0 et z(0) = H, conduisent à z(t) = -½ g_M t² + H. On en déduit une durée de chute de 0,74 s pour une hauteur de 1,0 m, puis une vitesse d'impact de 2,7 m·s^-1. Convertie en 9,8 km·h^-1, elle reste inférieure aux 16 km·h^-1 supportés par le train d'atterrissage.

Partie D : un altimètre à condensateur

Loi des mailles, loi d'Ohm et i = C du_C/dt conduisent à l'équation différentielle de la décharge. On vérifie ensuite la solution u_C = E e^-t/τ, avec τ = RC. Le graphique donne E = 6,0 V et, par la lecture à 37 % de E, τ = 0,10 s, d'où C₀ = 100 µF avec R = 1,0 kΩ. Quand le drone monte, l'épaisseur e augmente et la capacité C = εS/e diminue : à 5,0 m, une hausse de 10 % de e donne environ 91 µF.

Les pièges à éviter

Laisser la température en degrés Celsius dans la loi des gaz parfaits. Prendre le même poids sur Terre et sur Mars, alors que seule la masse est conservée. Oublier le signe moins de a_z, qui se propage à toute la partie C. Comparer des m·s^-1 à des km·h^-1 sans multiplier par 3,6. Garder R en kilo-ohms dans le calcul de C₀. Enfin, en D.6, retirer 10 % à C₀ donne 90 µF : une épaisseur multipliée par 1,10 divise la capacité par 1,10.

Conseils pour réussir cet exercice

Pour chaque « montrer que », partez de la définition et remplacez une à une les grandeurs absentes du résultat attendu. Écrivez les conditions initiales sur la copie avant de déterminer les constantes d'intégration. Sur les graphiques, tracez les lectures et donnez des résultats avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la méthode, les calculs et les erreurs fréquentes.