Oui
Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Les lunes glacées de Jupiter - Centres étrangers 1 2024 Jour 2 - Ex 2 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2024
Terminale spécialité
La sonde JUICE part explorer les lunes glacées de Jupiter et se mettra en orbite autour de Ganymède. Cet exercice de 6 points du bac 2024 Centres étrangers 1 Jour 2 est un classique de mécanique céleste, avec une question ouverte à la clé. 🛰️
- Repère de Frenet : schéma de l'orbite et expression de la force gravitationnelle.
- 2e loi de Newton : mouvement circulaire uniforme, vitesse et période de la sonde.
- Troisième loi de Kepler : période sur une orbite plus haute et nombre d'orbites.
- Ondes radio : nature des ondes et durée d'un aller-retour du signal.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé, question par question, sont gratuits en PDF.
Fiche de cours
Satellites et lois de Kepler — Terminale spécialité physique-chimie
L'essentiel du cours, les formules et les méthodes utiles pour cet exercice, sur une page gratuite.
Voir la fiche de coursCet exercice mobilise aussi : Deuxième loi de Newton
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Corrigé interactif · 9 questions
0 / 9 vues
Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Schématiser, sans souci d'échelle, Ganymède et l'orbite de la sonde JUICE. Placer le repère de Frenet
(ut,un) et représenter la force gravitationnelle
FG exercée par Ganymède sur la sonde.
Ganymède est au centre G de l'orbite circulaire, de rayon RG+h. En un point J de la trajectoire :
- ut est tangent au cercle, dans le sens du mouvement ;
- un est porté par le rayon et dirigé vers le centre G ;
- FG a pour origine J, pour direction la droite (JG) et pour sens de J vers G.
Schéma ci-dessous : FG est colinéaire à un et de même sens. Ganymède, l'orbite de JUICE, le repère de Frenet et la forceTu avais trouvé ?
Q2Exprimer, dans le repère de Frenet, le vecteur de la force
FG.
En notant m la masse de la sonde, la distance entre les centres étant RG+h :
Tu avais trouvé ?
Q3FG étant la seule force exercée sur la sonde, montrer que son mouvement circulaire est uniforme dans le référentiel, supposé galiléen, centré sur Ganymède.
Indice Orbite circulaire et force centrale : 1) deuxième loi de Newton ; 2) accélération dans le repère de Frenet ; 3) identification. Selon
ut on obtient l'uniformité, selon
un la vitesse (Q.4).
Système {sonde JUICE}, de masse m constante ; référentiel centré sur Ganymède, supposé galiléen ; seule force : FG.
Deuxième loi de Newton : ∑Fext=ma, soit (RG+h)2GmMGun=ma, donc
a=(RG+h)2GMGun+0ut
Pour un mouvement circulaire de rayon RG+h, dans le repère de Frenet : a=RG+hv2un+dtdvut.
Par identification selon ut :
dtdv=0 : la valeur v de la vitesse est constante, le mouvement circulaire est uniforme.
Tu avais trouvé ?
Q4Montrer que la vitesse de la sonde JUICE peut s'écrire
v=RG+hG×MG.
L'identification des deux expressions de a (Q.3) selon un donne :
RG+hv2=(RG+h)2GMGdoncv2=RG+hGMG
Tu avais trouvé ?
Q5Établir l'expression de la période T en fonction de RG, h, MG et G, puis en déduire que, sur l'orbite d'altitude 500 km, la période est proche de T500=2,77 h.
Données utiles RG=2,63×103 km ; MG=1,82×1023 kg ; G=6,67×10−11 m3⋅kg−1⋅s−2 ; h=500 km
En une période T, la sonde parcourt à vitesse constante le périmètre 2π(RG+h) de son orbite :
T=v2π(RG+h)=2π(RG+h)GMGRG+hsoitT=2πGMG(RG+h)3
Avec RG+h=2,63×106+500×103=3,13×106 m :
T500=2π6,67×10−11×1,82×1023(3,13×106)3=9,99×103 s
T500=36009,99×103=2,77 h : c'est bien la valeur annoncée.
Tu avais trouvé ?
Q6En utilisant la troisième loi de Kepler, déterminer la période de la sonde JUICE sur son orbite circulaire d'altitude 5 000 km.
Données utiles T500=2,77 h (Q.5) ; RG=2,63×103 km ; h500=500 km ; h5000=5000 km
Troisième loi de Kepler : pour tous les satellites de Ganymède, le rapport r3T2 est le même, r=RG+h étant le rayon de l'orbite circulaire.
(RG+h5000)3T50002=(RG+h500)3T5002doncT5000=T500(RG+h500RG+h5000)3/2
T5000=2,77×(2,63×103+5002,63×103+5000)3/2
T5000=10,5 h
Tu avais trouvé ?
Q7À l'aide des réponses aux questions 5 et 6, estimer le nombre d'orbites effectuées par la sonde autour de Ganymède et commenter la phrase « Les 1167 orbites que la sonde JUICE effectuera autour de Ganymède […] ».
Données utiles 90 jours à 5 000 km d'altitude, T5000=10,5 h (Q.6) ; 102 jours à 500 km d'altitude, T500=2,77 h (Q.5)
Indice Question ouverte : annoncer la démarche, mener un calcul par phase, additionner, puis confronter à la valeur citée en nommant ce que le calcul laisse de côté. Une démarche incomplète mais claire rapporte des points.
Le nombre d'orbites sur une phase est N=Tdureˊe de la phase, les deux durées étant en heures.
Orbite d'altitude 5 000 km : N5000=10,590×24≈206 orbites.
Orbite d'altitude 500 km : N500=2,77102×24≈884 orbites.
Pour les deux phases étudiées : N=206+884≈1,09×103 orbites.
Les deux autres phases (30 jours sur orbite elliptique, 30 jours à moins de 500 km) ne sont pas calculables ici et ajoutent des orbites à ce total.
N≈1,09×103 orbites sur les deux phases circulaires connues : même ordre de grandeur que les 1167 annoncées (écart de 7 % environ), la phrase est cohérente.
Tu avais trouvé ?
Q8Indiquer à quel type d'ondes les ondes radio appartiennent : mécanique ou électromagnétique.
Le signal traverse le vide spatial entre Jupiter et la Terre : il ne nécessite pas de milieu matériel pour se propager.
Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques.
Tu avais trouvé ?
Q9Montrer, en négligeant la distance entre la sonde et Jupiter, que la durée d'un aller-retour du signal radio entre la sonde JUICE et la Terre est proche de celle annoncée (1 h 46).
Données utiles distance maximale Jupiter-Terre : d=9,3×108 km ; c=3,00×108 m⋅s−1
La sonde est supposée à la même distance de la Terre que Jupiter. Pour un aller-retour, le signal parcourt 2d à la célérité c :
Δt=c2d=3,00×1082×9,3×1011=6,2×103 s
Conversion : 36006,2×103=1,72 h, soit 1 h et 0,72×60≈43 min.
Δt≈6,2×103 s≈1 h 43 min, proche de 1 h 46 annoncée (écart de 3 % environ).
Tu avais trouvé ?
À la découverte des lunes glacées de Jupiter : la mécanique des satellites
Le deuxième exercice du bac 2024 Centres étrangers 1 Jour 2, noté sur 6 points, suit la sonde JUICE en orbite circulaire autour de Ganymède, la plus grande lune de Jupiter. En neuf questions, il reprend la démarche complète du chapitre sur les satellites : repère de Frenet, deuxième loi de Newton, vitesse, période, troisième loi de Kepler, puis une question ouverte et une courte partie sur les ondes radio. Un exercice très proche du cours, où chaque étape s'appuie sur la précédente.
Les passages clés, question par question
Q1 et Q2 : le schéma et la force
Ganymède occupe le centre de l'orbite, de rayon RG + h. Le vecteur ut est tangent à la trajectoire dans le sens du mouvement, le vecteur un est dirigé vers le centre. La force gravitationnelle part de la sonde et pointe vers Ganymède. Son expression fait intervenir le carré de la distance entre les centres, (RG + h)2, et non h2 : c'est le piège principal.
Q3 et Q4 : uniformité et vitesse
La deuxième loi de Newton, appliquée à la sonde dans le référentiel centré sur Ganymède, donne une accélération portée uniquement par un. En identifiant avec l'accélération dans le repère de Frenet, la composante selon ut impose dv/dt = 0 : le mouvement est uniforme. Attention, l'accélération n'est pas nulle pour autant, car la direction de la vitesse change. La composante selon un donne ensuite v = √(G MG / (RG + h)), indépendante de la masse de la sonde.
Q5 : la période
En une période, la sonde parcourt le périmètre 2π(RG + h) à vitesse constante, d'où T = 2π√((RG + h)3 / (G MG)). Les distances doivent être converties en mètres : on trouve 9,99 × 103 s, soit 2,77 h, la valeur annoncée.
Q6 : la troisième loi de Kepler
Le rapport T2/r3 est le même pour tous les satellites de Ganymède. Dans ce rapport, les unités se simplifient : on peut garder les kilomètres et les heures. On obtient une période de 10,5 h sur l'orbite d'altitude 5 000 km. Le piège consiste à utiliser les altitudes au lieu des rayons des orbites.
Q7 : la question ouverte
Il faut diviser la durée de chaque phase par la période correspondante : environ 206 orbites en 90 jours à 5 000 km et environ 884 orbites en 102 jours à 500 km, soit près de 1,09 × 103 orbites. Ce total est du même ordre de grandeur que les 1167 orbites annoncées ; il faut signaler que deux autres phases de la mission ne sont pas prises en compte dans le calcul.
Q8 et Q9 : les ondes radio
Les ondes radio traversent le vide : ce sont des ondes électromagnétiques. Pour l'aller-retour, le signal parcourt deux fois la distance Terre-Jupiter : Δt = 2d/c ≈ 6,2 × 103 s, soit environ 1 h 43 min, proche de la durée annoncée.
Conseils pour réussir
Mémorisez la démarche en trois temps : loi de Newton, accélération dans le repère de Frenet, identification. Vérifiez les conversions en mètres et en secondes, et respectez le nombre de chiffres significatifs des données.