La mission GRACE-FO : mécanique, optique et électricité dans un même exercice

Cet exercice obligatoire de 10 points s'appuie sur une mission spatiale réelle : deux satellites qui se suivent sur la même orbite et dont l'écart renseigne sur le champ de gravité terrestre. Il mobilise trois chapitres de terminale en trois parties : le mouvement d'un satellite, les interférences lumineuses et le condensateur plan. C'est un sujet long, qui demande de la méthode plus que des calculs compliqués.

Partie A : le mouvement d'un satellite

Schéma, force et champ (A.1 à A.3)

Tout repose sur un schéma propre : la Terre de centre T, le satellite S et le vecteur unitaire n dirigé de S vers T. Le piège classique est la distance : l'altitude se mesure depuis la surface, le rayon de l'orbite vaut donc R_T + z. Comme n pointe déjà vers la Terre, la force gravitationnelle s'écrit sans signe moins, et le champ s'obtient en divisant par la masse du satellite : il n'en dépend pas.

Deuxième loi de Newton et mouvement uniforme (A.4 à A.6)

Annoncer le système, le référentiel géocentrique supposé galiléen et le bilan des forces avant d'écrire la deuxième loi de Newton : ces éléments sont notés. On obtient une accélération égale au champ. Dans le repère de Frenet, l'accélération n'a pas de composante tangentielle, donc la vitesse est constante : le mouvement est uniforme. Attention à ne pas dire que l'accélération est constante, son vecteur change de direction à chaque instant. La composante normale donne ensuite l'expression de la vitesse.

Période et principe de la mission (A.7 et A.8)

Avec une orbite de rayon 6 861 km, converti en mètres, la période vaut 5,65 × 10³ s, soit environ 1 h 34 min, ce qui donne environ 15 révolutions par jour comme annoncé. La question A.8 est la plus fine : le satellite de tête subit un champ incliné vers l'avant, sa vitesse augmente alors que celle du second reste constante. La distance L entre eux augmente. Il faut impérativement préciser le sens du mouvement, sans quoi la conclusion n'est pas justifiée.

Partie B : l'interféromètre laser

Les deux faisceaux proviennent du même laser : ils sont cohérents, d'où des interférences. Il faut savoir définir une interférence constructive, avec une différence de marche multiple entière de la longueur d'onde, sans la confondre avec le cas destructif. Le schéma donne une différence de marche égale à 2L, car les trajets de longueur h se compensent. Un éloignement d dans l'aller-retour la fait varier de 2d, et deux états constructifs successifs correspondent donc à d égal à une demi-longueur d'onde. Avec un laser de 1 064 nm, la plus petite variation détectable vaut 532,0 nm.

Partie C : le condensateur accéléromètre

La capacité est inversement proportionnelle à la distance entre les armatures : quand la masse d'épreuve s'écarte, la capacité diminue. Le champ électrique s'écrit U/(e + X), dirigé de l'armature positive vers la négative. Pour choisir le bon schéma, on combine le sens du champ et celui de la force sur une charge négative : le schéma 2 convient. Le dernier piège attend en C.4 : des forces opposées sur des faces de charges contraires correspondent à des champs égaux, et non opposés.

Conseils pour réussir

Travaillez avec les unités du Système international dès le départ, additionnez le rayon terrestre et l'altitude avant d'élever au cube, et justifiez chaque sens de vecteur par une phrase. Les trois parties sont largement indépendantes : en cas de blocage en mécanique, les parties B et C restent accessibles.