Oui
Mouvement dans un champ électrique
2e loi de Newton
Radioactivité et nucléaire
Sujet Bac Corrigé - Cyclotron Arronax et fluor 18 - Centres étrangers 1 2026 Jour 2 - Ex 1 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2026
Terminale spécialité
⚛️ Comment produit-on le traceur radioactif d'un examen médical ? L'exercice 1 du bac 2026 de physique-chimie (Centres étrangers 1, jour 2) suit un ion dans le cyclotron Arronax, sur 11 points.
- L'accélération de l'ion : poids négligeable, deuxième loi de Newton, équations horaires et vitesse de sortie.
- L'énergie : énergie cinétique gagnée à chaque passage et nombre de tours dans le cyclotron.
- Le fluor 18 : équations nucléaires, désintégration bêta plus, photon gamma, demi-vie et décroissance dans le corps du patient.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
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Corrigé interactif · 15 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Montrer que la norme du poids de l'ion
HX− est négligeable devant celle de la force électrique
Fe qui s'applique sur lui.
Données utiles m=1,67×10−27 kg ; e=1,6×10−19 C ; d=5,0 mm ; U=65 kV ; E=dU ; g=9,81 N⋅kg−1
Poids : P=mg=1,67×10−27×9,81=1,6×10−26 N
Force électrique : Fe=∣q∣E=deU=5,0×10−31,6×10−19×65×103=2,1×10−12 N
PFe≈1,3×1014 : le poids est environ 1014 fois plus faible que la force électrique, il est négligeable.
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Q2Reproduire la figure 2 et y faire apparaître, sans souci d'échelle, la force électrique
Fe qui s'applique sur l'ion
HX− et le champ électrique
E entre les plaques.
L'ion part de O sans vitesse et doit être accéléré vers la droite : Fe est horizontale, dirigée dans le sens du mouvement (sens de l'axe Ox).
Comme Fe=qE avec q=−e<0, le champ E a la même direction que la force mais le sens opposé.
Fe est tracée à partir de l'ion vers la droite ; E est horizontal et dirigé vers la gauche. Figure 2 reproduite : en orange, la force électrique et le champ électriqueTu avais trouvé ?
Q3Exprimer l'accélération ax de l'ion HX− dans la zone accélératrice en fonction de e, U, d et m, en utilisant la deuxième loi de Newton.
Système {ion HX−}, de masse m constante ; référentiel supposé galiléen ; seule force prise en compte : Fe (poids négligeable, Q.1).
Deuxième loi de Newton : Fe=ma, soit qE=ma.
En projection sur Ox, le champ étant dirigé vers la gauche : Ex=−E=−dU, donc
max=qEx=(−e)×(−dU)
ax=mdeU
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Q4Montrer que la vitesse et la position de l'ion sur l'axe x s'écrivent vx(t)=mdeU×t et x(t)=21×mdeU×t2.
Par définition ax=dtdvx. On cherche une primitive de ax, qui est constante :
vx(t)=mdeUt+C1
Vitesse initiale nulle : vx(0)=C1=0.
De même vx=dtdx, d'où par primitive :
x(t)=21mdeUt2+C2
L'ion est en O à t=0 : x(0)=C2=0.
vx(t)=mdeUt et x(t)=21mdeUt2
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Q5Calculer la vitesse vsortie de l'ion HX− après le premier passage dans la zone accélératrice, lorsque x(t)=d.
Données utiles e=1,6×10−19 C ; U=65 kV ; m=1,67×10−27 kg ; équations horaires (Q.4)
Indice Vitesse à une position donnée : 1) trouver la date avec x(t) ; 2) la reporter dans vx(t) ; 3) simplifier l'expression littérale avant de calculer.
Date de sortie ts : x(ts)=d donne 21mdeUts2=d, soit ts=deU2m (racine positive).
On remplace dans la vitesse :
vsortie=mdeU×deU2m=m2eU
vsortie=1,67×10−272×1,6×10−19×65×103
vsortie=3,5×106 m⋅s−1
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Q6Vérifier que l'énergie cinétique de l'ion HX− à la sortie de la zone accélératrice vaut EC=1,0×10−14 J.
Données utiles m=1,67×10−27 kg ; vsortie (Q.5)
EC=21mvsortie2=21×1,67×10−27×(3,53×106)2
EC=1,04×10−14 J≈1,0×10−14 J : c'est la valeur attendue.
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Q7Calculer le nombre de tours complets que les particules ont effectués avant la sortie du cyclotron.
Données utiles gain par passage : EC=1,0×10−14 J ; énergie cinétique en sortie : 70 MeV ; 1 eV=1,60×10−19 J
Indice Question ouverte : annoncer la démarche en une phrase, convertir dans une unité commune, calculer, puis relier le résultat à ce qui est demandé à l'aide du schéma.
Énergie cinétique finale en joules : EC,f=70×106×1,60×10−19=1,12×10−11 J
L'ion part sans vitesse et ne gagne de l'énergie qu'entre les plaques. Nombre de passages dans la zone accélératrice :
n=ECEC,f=1,0×10−141,12×10−11=1,12×103
D'après la figure 1, l'ion traverse deux fois l'espace entre les cavités à chaque tour : le nombre de tours est 2n.
Environ 560 tours, soit 5,6×102 tours complets.
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Q8Écrire l'équation de la réaction nucléaire conduisant à la formation du fluor 18.
Données utiles oxygène : Z=8 ; fluor : Z=9 ; proton X11X2121H ; neutron X01X2021n
Un proton frappe un noyau d'oxygène 18 ; il se forme un noyau de fluor 18 et un neutron.
X11X2121H+X818X28218OX918X29218F+X01X2021n Tu avais trouvé ?
Q9Donner le nom et le symbole de la particule émise lors d'une désintégration β+, puis écrire l'équation de cette désintégration pour le fluor 18.
Une désintégration β+ émet un positon, noté X10X2120e.
On note XZAX2Z2AX le noyau fils. Les nombres de masse se conservent : A=18−0=18. Les nombres de charge aussi : Z=9−1=8, numéro atomique de l'oxygène.
X918X29218FX818X28218O+X10X2120e Tu avais trouvé ?
Q10Calculer la longueur d'onde correspondant à l'énergie moyenne du photon, puis justifier l'utilisation d'une gamma-caméra.
Données utiles E=511 keV ; h=6,63×10−34 J⋅s ; c=3,00×108 m⋅s−1 ; 1 eV=1,60×10−19 J
E=λhc donc λ=Ehc, avec E en joules :
λ=511×103×1,60×10−196,63×10−34×3,00×108=2,43×10−12 m
Sur l'axe des domaines, cette longueur d'onde, proche de 1 pm, se situe dans la zone des rayons γ.
λ=2,43 pm : le rayonnement émis est un rayonnement γ, d'où l'emploi d'une caméra sensible à ces rayons.
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Q11Montrer que N(t)=N0×e−λ×t est solution de l'équation différentielle dtdN(t)=−λ×N(t).
Indice Pour « montrer qu'une expression est solution », on ne résout pas l'équation : on dérive l'expression, puis on compare les deux membres.
On dérive l'expression proposée :
dtdN=N0×(−λ)e−λt=−λ×(N0e−λt)
On reconnaît N(t) dans la parenthèse.
dtdN=−λN(t) : l'expression vérifie l'équation différentielle (et N(0)=N0).
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Q12Définir puis déterminer graphiquement le temps de demi-vie t1/2 du fluor 18.
Le temps de demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s'est désintégrée : N(t1/2)=2N0.
Sur le graphique, on part de l'ordonnée 50 % ; l'abscisse du point correspondant de la courbe donne t1/2.
t1/2≈6,5×103 s
50 %t1/2≈6500 sNoyaux restants (%)Temps (s) Courbe du sujet : lecture du temps de demi-vieTu avais trouvé ?
Q13Calculer la valeur de la constante radioactive λ du fluor 18.
Données utiles t1/2=λln(2) ; t1/2≈6,5×103 s (Q.12)
λ=t1/2ln(2)=6,5×103ln(2)
λ=1,1×10−4 s−1
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Q14Déterminer le pourcentage de traceur radioactif restant dans le corps du patient après l'analyse des clichés.
Données utiles attente d'environ 1 h après l'injection, puis environ 30 min pour les clichés et leur analyse
Durée écoulée depuis l'injection : t=1 h+30 min=90×60=5400 s.
Lecture graphique : à l'abscisse 5 400 s, l'ordonnée de la courbe est proche de 57 %.
Vérification par le calcul : N0N(t)=e−λt=e−ln(2)×5400/6500=0,56, résultat compatible avec la lecture.
Il reste environ 57 % du traceur radioactif à la fin de l'analyse des clichés.
≈57 %5400 sNoyaux restants (%)Temps (s) Courbe du sujet (agrandie) : lecture à la fin de l'analyse des clichésTu avais trouvé ?
Q15Calculer la durée nécessaire pour qu'il reste moins de 1 % de traceur radioactif dans le corps du patient. Commenter cette valeur.
Données utiles t1/2≈6,5×103 s (Q.12) ; λ=t1/2ln(2) (Q.13)
On cherche t tel que N0N(t)<0,01, soit e−λt<0,01.
La fonction ln est croissante : −λt<ln(0,01), soit λt>ln(100), d'où
t>λln(100)=ln(2)ln(100)×t1/2=ln(2)ln(100)×6,5×103=4,3×104 s
Commentaire : le patient quitte l'hôpital 2 h après l'injection, alors que près de la moitié du traceur est encore présente. La radioactivité devient toutefois très faible en une demi-journée : l'exposition du patient et de son entourage reste brève.
t≈4,3×104 s, soit environ 12 h.
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Le cyclotron Arronax : de l'accélération d'un ion au traceur médical
Le premier exercice du bac 2026 de physique-chimie en Centres étrangers 1 (jour 2) pèse 11 points sur 20, plus de la moitié de l'épreuve. Il suit un ion hydrure H- accéléré dans le cyclotron Arronax pour produire du fluor 18, le traceur radioactif utilisé en imagerie médicale. Deux grands blocs se succèdent : la mécanique d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme, puis la physique nucléaire, de la réaction de production jusqu'à la décroissance du traceur dans le corps du patient.
Questions 1 à 6 : l'ion dans la zone accélératrice
La question 1 demande de montrer que le poids est négligeable devant la force électrique. Il faut calculer les deux normes, avec U = 65 kV converti en volts et d = 5,0 mm converti en mètres, puis conclure par un rapport chiffré : la force électrique est environ 1014 fois plus grande. Comparer deux valeurs sans calculer leur rapport ne prouve rien. La question 2 est un schéma : la force électrique est dirigée dans le sens du mouvement, et comme la charge est négative, le champ électrique a le sens opposé. Dessiner les deux vecteurs dans le même sens est l'erreur la plus fréquente.
Les questions 3 et 4 déroulent la méthode classique : système, référentiel galiléen, deuxième loi de Newton, projection sur l'axe, puis primitives successives. Les deux signes négatifs, celui de la charge et celui du champ, se compensent et donnent une accélération positive et constante. Les constantes d'intégration doivent être justifiées par les conditions initiales : vitesse nulle et ion en O à la date zéro. La question 5 combine les deux équations horaires pour obtenir une vitesse de sortie qui ne dépend que de la tension, environ 3,5 × 106 m/s. La question 6 vérifie alors que l'énergie cinétique vaut 1,0 × 10-14 J.
Question 7 : le nombre de tours
Cette question ouverte demande de convertir l'énergie finale de 70 MeV en joules, puis de la diviser par le gain d'énergie à chaque passage. On obtient environ 1 120 passages entre les plaques. Le piège est de s'arrêter là : d'après la figure, l'ion traverse la zone accélératrice deux fois par tour, d'où environ 560 tours.
Questions 8 à 15 : le fluor 18, de sa production à sa disparition
Les équations nucléaires des questions 8 et 9 se vérifient par la conservation du nombre de masse et du nombre de charge. La désintégration bêta plus émet un positon, et non un électron : confondre les deux conduit à un mauvais noyau fils. La question 10 relie l'énergie du photon, 511 keV, à sa longueur d'onde, environ 2,43 pm, ce qui place le rayonnement dans le domaine gamma et justifie la gamma-caméra. Attention à convertir les keV en joules et à placer le dénominateur entre parenthèses à la calculatrice.
La fin de l'exercice porte sur la décroissance radioactive. Pour montrer qu'une exponentielle est solution de l'équation différentielle, on dérive et on compare, sans résoudre. La demi-vie se lit sur la courbe, environ 6,5 × 103 s, et donne la constante radioactive. La question 14 exige de bien choisir la durée : l'analyse des clichés se termine 1 h 30 après l'injection, il reste alors environ 57 % du traceur. La question 15 se traite par le calcul, car la courbe s'arrête trop tôt : il faut environ 12 heures pour descendre sous 1 %. En passant au logarithme, le sens de l'inégalité change quand on divise par un nombre négatif.
Conseils pour cet exercice
Soignez les conversions d'unités, qui reviennent à presque chaque question, et gardez les valeurs non arrondies dans les calculs enchaînés. Rédigez la deuxième loi de Newton en entier et citez les conditions initiales. Enfin, reliez toujours un résultat numérique à ce que demande l'énoncé : un nombre de passages n'est pas un nombre de tours, une durée de 12 heures se commente au regard de la sortie du patient.