Saut à la perche : de l'énergie à la deuxième loi de Newton

L'exercice 2 du sujet Amérique du Nord 2022 (jour 1) est l'un des exercices de 5 points au choix, prévu pour environ 53 minutes. Il étudie un saut à la perche en trois temps : l'ascension, décrite par des courbes d'énergie produites par un programme Python, la chute libre après la barre, puis la réception sur le matelas. La question finale demande si l'épaisseur du tapis, 82 cm, est suffisante.

Les passages clés, question par question

Partie A : les énergies pendant l'ascension

L'altitude augmente sans cesse pendant la montée, donc l'énergie potentielle de pesanteur aussi : c'est la courbe B. L'énergie cinétique, maximale à la fin de l'élan puis presque nulle au sommet, correspond à la courbe A. Dans le programme, il faut écrire Ec[i]=0.5*m*v[i]**2 et Epp[i]=m*g*z[i], sans oublier l'indice et le double astérisque pour la puissance. La vitesse initiale se lit dans le tableau v : 10,063 m·s^-1. À t = 0,9 s, l'énergie potentielle élastique est maximale : la perche est la plus pliée, c'est la situation 2. Enfin, le maximum de la courbe B, environ 4,7 × 10³ J, donne une altitude maximale du centre de masse de 6,1 m.

Partie B : la chute libre

Après la barre, l'athlète n'est soumis qu'à son poids : il est en chute libre. La conservation de l'énergie mécanique entre le sommet, où la vitesse est nulle, et l'impact donne v_B = √(2g(z_A − z_B)). La masse se simplifie. Avec une hauteur de chute de 5,31 m, on trouve 10,2 m·s^-1.

Partie C : la réception sur le tapis

Le système subit son poids, vers le bas, et l'action du tapis, vers le haut. La projection de la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le haut donne F_T = m(a_z + g) = 11mg, soit 8,52 kN. Les équations horaires s'obtiennent par deux primitives successives, chaque constante étant fixée par une condition initiale : v_0z pour la vitesse, z_B pour la position. La réception s'achève quand la vitesse s'annule : t_f = 0,104 s. L'enfoncement vaut alors 0,53 m, inférieur aux 0,82 m du tapis : l'athlète s'arrête environ 29 cm au-dessus du sol.

Les pièges à éviter

Le piège principal est d'oublier le poids dans la partie C : on trouverait F_T = 10mg, soit 7,75 kN, au lieu de 8,52 kN. Il faut aussi comprendre que l'accélération est dirigée vers le haut alors que l'athlète descend, puisqu'il ralentit. Autres erreurs fréquentes : confondre chute libre et chute sans vitesse initiale, utiliser l'énergie mécanique totale pour calculer l'altitude maximale alors qu'il reste un peu d'énergie cinétique au sommet, ou chercher l'instant où z s'annule au lieu de l'instant où la vitesse s'annule.

Conseils pour réussir

Commencez toujours par le système et le référentiel. Orientez l'axe avant de projeter et gardez les signes jusqu'au bout : v_0z est négative. Pour les équations horaires, rédigez l'enchaînement complet, car c'est la justification des constantes d'intégration qui est évaluée. Enfin, une lecture graphique ne donne que deux chiffres significatifs : adaptez la précision de vos résultats.