Oui
Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Satellite Métis et limite de Roche - Nouvelle-Calédonie 2025 Jour 1 - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2025
Terminale spécialité
🪐 Métis, petit satellite de Jupiter, est-il condamné ? L'exercice 3 du bac 2025 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 1), sur 6 points, mène l'enquête avec la mécanique de terminale.
- Deuxième loi de Newton : repère de Frenet, force de gravitation, mouvement circulaire uniforme et expression de la vitesse.
- Troisième loi de Kepler : période de révolution, loi de Kepler retrouvée et rayon de l'orbite.
- Limites de Roche : masse volumique de Jupiter, limites « fluide » et « rigide », puis destin de Métis.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
Fiche de cours
Satellites et lois de Kepler — Terminale spécialité physique-chimie
L'essentiel du cours, les formules et les méthodes utiles pour cet exercice, sur une page gratuite.
Voir la fiche de coursCet exercice mobilise aussi : Deuxième loi de Newton
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Q1Représenter sur un schéma Jupiter, Métis sur son orbite supposée circulaire et les vecteurs unitaires
ut et
un du repère de Frenet.
Voir le schéma : l'orbite est un cercle de centre J (centre de Jupiter) et de rayon r ; le repère de Frenet a pour origine Métis (M).
ut est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; un est perpendiculaire à ut et dirigé vers le centre de Jupiter. Jupiter, Métis sur son orbite et le repère de FrenetTu avais trouvé ?
Q2Donner l'expression vectorielle de la force de gravitation
F exercée par Jupiter sur Métis en fonction de
G,
MJ,
m,
r et du ou des vecteurs unitaires adaptés du repère de Frenet.
La force est attractive, dirigée de Métis vers le centre de Jupiter, donc selon +un ; la distance entre les deux centres est r.
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Q3Représenter, sans souci d'échelle, cette force
F sur le schéma de la question 1.
Voir le schéma : le vecteur F a pour origine Métis.
F est porté par la droite (MJ) et dirigé vers le centre de Jupiter, comme un. Schéma de la question 1 complété par la force de gravitationTu avais trouvé ?
Q4En appliquant la deuxième loi de Newton au satellite Métis en mouvement circulaire autour de Jupiter, montrer que ce mouvement circulaire est uniforme.
Indice Force centrale et orbite circulaire : 1) deuxième loi de Newton ; 2)
a dans le repère de Frenet ; 3) identification. Selon
ut : mouvement uniforme. Selon
un : la vitesse (question 5).
Système {Métis}, de masse m constante ; référentiel jovien supposé galiléen ; seule force : F.
Deuxième loi de Newton : ∑Fext=ma, soit r2GMJmun=ma, donc
a=r2GMJun+0ut
Or, dans le repère de Frenet, pour un mouvement circulaire de rayon r : a=rv2un+dtdvut.
Par identification selon ut :
dtdv=0 : la valeur v de la vitesse est constante, le mouvement circulaire est uniforme.
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Q5Montrer que l'expression de la valeur de la vitesse du satellite Métis vaut
v=rG×MJ.
Par identification des deux expressions de a (question 4) selon un :
rv2=r2GMJdoncv2=rGMJ
Tu avais trouvé ?
Q6En déduire l'expression de la période de révolution TM de Métis autour de Jupiter.
Le mouvement est uniforme : pendant une période TM, Métis parcourt la circonférence 2πr de l'orbite à la vitesse v, donc TM=v2πr.
TM=2πr×GMJr
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Q7Retrouver la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire.
On élève au carré l'expression de la question 6 : TM2=GMJ4π2r3.
r3TM2=GMJ4π2 : ce rapport est constant, il ne dépend que de la masse de Jupiter. Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du rayon de l'orbite : c'est la troisième loi de Kepler.
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Q8Montrer que le rayon r de l'orbite de Métis autour de Jupiter vaut 1,28×108 m.
Données utiles TM=7 h 4 min 30 s ; MJ=1,899×1027 kg ; G=6,67×10−11 m3⋅kg−1⋅s−2
TM=7×3600+4×60+30=25470 s
D'après la question 7 : r3=4π2GMJTM2, soit r=34π2GMJTM2.
r=34π26,67×10−11×1,899×1027×254702=1,277×108 m
r=1,28×108 m : c'est bien la valeur attendue.
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Q9Vérifier que la masse volumique de Jupiter est ρJ=1327 kg⋅m−3.
Données utiles MJ=1,899×1027 kg ; RJ=69911 km
Jupiter est assimilée à une sphère de rayon RJ=6,9911×107 m, de volume VJ=34πRJ3.
ρJ=VJMJ=4πRJ33MJ=4π×(6,9911×107)33×1,899×1027
ρJ=1,327×103 kg⋅m−3=1327 kg⋅m−3 : c'est bien la valeur annoncée.
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Q10Calculer la limite de Roche « fluide » et la limite de Roche « rigide » pour Métis.
Données utiles RJ=6,9911×107 m ; ρJ=1327 kg⋅m−3 (Q9) ; ρM=860 kg⋅m−3
Indice Les deux formules ne diffèrent que par le coefficient. Calculer une fois
RJ×3ρJ/ρM=8,08×107 m, puis multiplier par
2,42 et par
1,26.
Dfluide=2,42×RJ×3ρMρJ et Drigide=1,26×RJ×3ρMρJ, avec RJ en mètres.
Dfluide=2,42×6,9911×107×(8601327)1/3=1,96×108 m
Drigide=1,26×6,9911×107×(8601327)1/3=1,02×108 m
Dfluide=1,96×108 m et Drigide=1,02×108 m
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Q11En se référant aux calculs de la partie A, prévoir, en justifiant, le destin de Métis.
Données utiles r=1,28×108 m (Q8) ; Dfluide=1,96×108 m et Drigide=1,02×108 m (Q10)
Indice Pour « prévoir en justifiant » : une comparaison chiffrée, une phrase du texte pour chaque limite, puis une conclusion qui répond aux deux questions de l'introduction (matière arrachée, existence menacée).
On compare le rayon de l'orbite de Métis aux deux limites : 1,02×108 m<1,28×108 m<1,96×108 m.
- r<Dfluide : Métis orbite en dessous de la limite de Roche « fluide ». Il se déforme et perd de la matière en surface, ce qui peut alimenter l'anneau principal ; il ralentit et perd peu à peu de l'altitude.
- r>Drigide : Métis est encore au-dessus de la limite de Roche « rigide », il n'est donc pas détruit pour l'instant.
Drigide<r<Dfluide : Métis est bien un satellite en sursis. Il perd de la matière et de l'altitude, et sera détruit lorsque le rayon de son orbite deviendra inférieur à Drigide.
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Métis, un satellite en sursis : un exercice de 6 points
L'exercice 3 du bac 2025 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 1) compte pour 6 points sur 20, environ 1 h 03. Il porte sur Métis, l'un des satellites les plus proches de Jupiter. La première partie déroule la démonstration classique du mouvement circulaire d'un satellite ; la seconde utilise les limites de Roche pour prévoir le destin de Métis. Onze questions, dont beaucoup de démonstrations littérales qu'il faut savoir rédiger.
Le repère de Frenet et la force de gravitation (Q1 à Q3)
Le schéma demandé montre Jupiter, l'orbite circulaire et le repère de Frenet, dont l'origine est le satellite. Le vecteur tangentiel suit le sens du mouvement et le vecteur normal pointe vers le centre de Jupiter. La force de gravitation s'écrit alors avec un signe plus devant le vecteur normal, puisqu'elle est attractive et dirigée vers le centre. Le signe moins n'apparaît qu'avec un vecteur unitaire orienté de Jupiter vers le satellite.
Mouvement uniforme, vitesse, période et Kepler (Q4 à Q7)
La méthode est toujours la même : appliquer la deuxième loi de Newton au système Métis dans le référentiel jovien supposé galiléen, écrire l'accélération dans le repère de Frenet, puis identifier. Selon le vecteur tangentiel, la dérivée de la vitesse est nulle : le mouvement est uniforme. Le piège est de conclure à partir d'un vecteur accélération « constant », alors qu'il change de direction. Selon le vecteur normal, on obtient la vitesse, racine carrée de G MJ / r, où la masse du satellite s'est simplifiée. La période s'en déduit en divisant la circonférence de l'orbite par la vitesse ; « en déduire » impose de remplacer la vitesse par son expression. En élevant au carré, on retrouve la troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période au cube du rayon ne dépend que de la masse de Jupiter.
Le rayon de l'orbite et la masse volumique de Jupiter (Q8 et Q9)
La période de 7 h 4 min 30 s doit être convertie en secondes, soit 25 470 s. La troisième loi de Kepler, réarrangée et suivie d'une racine cubique, donne un rayon de 1,28 × 108 m. La masse volumique de Jupiter, assimilée à une sphère, vaut 1 327 kg·m-3, à condition de convertir le rayon en mètres et d'utiliser le volume de la sphère, et non son aire.
Les limites de Roche et le destin de Métis (Q10 et Q11)
Les deux formules ne diffèrent que par leur coefficient : on calcule une fois le produit commun, puis on obtient 1,96 × 108 m pour la limite « fluide » et 1,02 × 108 m pour la limite « rigide ». Le rayon de l'orbite de Métis se situe entre les deux. Sous la limite fluide, le satellite se déforme et perd de la matière ; au-dessus de la limite rigide, il n'est pas encore détruit. Métis est donc bien en sursis : il perd de la matière et de l'altitude, et sera détruit quand son orbite passera sous la limite rigide.
Conseils pour réussir cet exercice
Rédigez les démonstrations étape par étape : système, référentiel, bilan des forces, loi appliquée, identification. Vérifiez les unités avant chaque calcul numérique et comparez toujours le rayon aux deux limites. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les schémas et les erreurs à éviter.