Corrigé interactif · 9 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Nommer les trois modes de transfert thermique pouvant contribuer au refroidissement de l'eau de l'aquarium.
Les trois modes de transfert thermique sont la conduction, la convection et le rayonnement.
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Q2Indiquer la température la plus basse que l'eau peut atteindre en l'absence de chauffage. Expliquer le raisonnement.
Données utiles θeau=26 °C ; θair=20 °C (constante)
Un transfert thermique se fait spontanément du corps chaud vers le corps froid : l'eau, à 26 °C, cède de l'énergie à l'air de la pièce, à 20 °C, et sa température diminue.
Ce transfert cesse lorsque les deux températures sont égales (équilibre thermique). Comme la température de l'air reste constante, c'est l'eau qui rejoint celle de l'air.
Sans chauffage, la température de l'eau ne descend pas au-dessous de θair=20 °C.
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Q3Montrer que la résistance thermique totale Rth de l'aquarium a une valeur proche de 4,6×10−2 °C⋅W−1.
Données utiles H=0,40 m ; L=0,60 m ; P=0,40 m ; eparoi=8,0×10−3 m ; λPMMA=0,17 W⋅m−1⋅°C−1
La conduction se fait par les quatre parois latérales et le couvercle, pas par le fond :
ST=2LH+2PH+LP
ST=2×0,60×0,40+2×0,40×0,40+0,60×0,40=1,04 m2
Rth=STλPMMAeparoi=1,04×0,178,0×10−3
Rth=4,5×10−2 °C⋅W−1, valeur proche de 4,6×10−2 °C⋅W−1.
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Q4En déduire que la puissance thermique Pth que le chauffage doit apporter à l'eau pour maintenir sa température vaut 130 W.
Données utiles Rth=4,6×10−2 °C⋅W−1 ; θeau=26 °C ; θair=20 °C
Indice Température constante signifie puissance reçue égale à puissance cédée. Cette phrase de bilan doit figurer sur la copie avant le calcul : c'est elle qui justifie Pth=Φ.
La température de l'eau reste constante si le chauffage compense exactement la puissance perdue par conduction à travers les parois :
Pth=Φ=RthΔθ=Rthθeau−θair
Pth=4,6×10−226−20
Pth=1,3×102 W, soit bien 130 W.
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Q5Avec le seul apport solaire (chauffage éteint), indiquer qualitativement comment évolue la température de l'eau au cours de la journée.
Données utiles PS=30 W ; Pth=130 W (Q4)
À 26 °C, l'eau perd 130 W à travers les parois (Q4) et ne reçoit que PS=30 W du Soleil. Elle cède plus d'énergie qu'elle n'en reçoit.
La température de l'eau diminue au cours de la journée.
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Q6Lister les puissances thermiques échangées par le système avec son environnement à l'instant t ; préciser pour chacune si elle est reçue ou perdue, et avec quel autre système.
Système : l'eau de l'aquarium. Le chauffage électrique est coupé.
- Puissance reçue du Soleil, par rayonnement : PS.
- Puissance perdue vers l'air ambiant, par conduction à travers les parois et le couvercle : Φ=Rthθ(t)−θair.
Deux puissances : PS reçue du Soleil ; Φ=Rthθ(t)−θair perdue vers l'air ambiant.
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Q7Estimer la valeur du temps caractéristique τ d'évolution du système.
Données utiles m=100 kg ; c=3930 J⋅kg−1⋅°C−1 ; Rth=0,046 °C⋅W−1
τ=mcRth
τ=100×3930×0,046
τ=1,8×104 s, soit environ 5,0 h.
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Q8Déterminer la température finale θf vers laquelle tend la température de l'aquarium si on attend suffisamment longtemps.
Données utiles θair=20 °C ; Rth=0,046 °C⋅W−1 ; PS=30 W
Indice Autre voie : en régime permanent dtdθ=0, et l'équation différentielle donne directement Rthθf=Rthθair+PS.
Quand t devient très grand devant τ, e−t/τ tend vers 0. Dans la solution, le premier terme s'annule et la parenthèse (1−e−t/τ) tend vers 1 :
θf=θair+RthPS
θf=20+0,046×30=21,4 °C
θf≈21 °C
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Q9Discuter la faisabilité d'utiliser uniquement le Soleil pour maintenir la température de l'aquarium entre 24 et 28 °C dans la journée.
Données utiles θ0=26 °C ; θf=21,4 °C (Q8) ; τ=1,8×104 s (Q7)
Indice Sans logarithme, calculer θ à une date donnée : à t=8 h, θ=21,38+4,62×e−28800/18078≈22,3 °C, déjà sous 24 °C.
La température décroît de 26 °C vers θf≈21 °C, valeur inférieure à 24 °C : elle sort donc de l'intervalle toléré. Cherchons à quelle date.
La solution s'écrit θ(t)=θf+(θ0−θf)e−t/τ. On résout θ(t)=24 °C :
e−t/τ=θ0−θf24−θfdonct=−τln(θ0−θf24−θf)
t=−18078×ln(26−21,3824−21,38)=1,0×104 s, soit environ 2,8 h.
Au bout d'environ 3 h, l'eau passe sous 24 °C : le Soleil seul ne suffit pas pour la journée, le chauffage électrique reste nécessaire.
24 °Ct≈2,8 hθ (°C)t (h) Température de l'eau au Soleil, chauffage coupéTu avais trouvé ?
Au bonheur des hippocampes : thermodynamique d'un aquarium
Le troisième exercice du bac 2024 Asie Jour 1, noté sur 5 points, étudie un aquarium d'hippocampes dont l'eau doit rester entre 24 et 28 °C, dans une pièce à 20 °C. En neuf questions, il parcourt le chapitre des transferts thermiques : modes de transfert, résistance thermique, bilan de puissance, puis résolution d'une équation différentielle du premier ordre. La dernière question, ouverte, demande de discuter la possibilité de se passer du chauffage électrique.
Les passages clés, question par question
Q1 et Q2 : sens du transfert et équilibre
Les trois modes de transfert thermique sont la conduction, la convection et le rayonnement. Sans chauffage, l'eau à 26 °C cède de l'énergie à l'air plus froid ; le transfert cesse à l'équilibre thermique. Comme la température de l'air reste constante, l'eau ne peut pas descendre sous 20 °C.
Q3 et Q4 : résistance thermique et puissance de chauffage
La conduction se fait par les quatre parois latérales et le couvercle, mais pas par le fond : la surface vaut 1,04 m². Avec une épaisseur de 8,0 mm et la conductivité du plexiglass, on trouve Rth = 4,5 × 10-2 °C/W, proche de la valeur annoncée. Pour maintenir l'eau à 26 °C, le chauffage doit compenser exactement le flux perdu : Pth = (26 - 20) / Rth, soit environ 130 W.
Q5 et Q6 : le seul apport solaire
Le Soleil n'apporte que 30 W, alors que l'eau en perd 130 à 26 °C : sa température diminue, de plus en plus lentement. Le bilan de Q6 recense deux puissances : PS, reçue du Soleil par rayonnement, et le flux Φ = (θ - θair) / Rth, perdu vers l'air ambiant à travers les parois.
Q7 à Q9 : temps caractéristique et conclusion
Le temps caractéristique τ = m c Rth vaut 1,8 × 104 s, soit environ 5 h. Quand t devient grand devant τ, la température tend vers θf = θair + Rth PS, environ 21 °C : le Soleil ne maintient l'eau qu'à 1,4 °C au-dessus de la pièce. En résolvant θ(t) = 24 °C, on trouve une durée d'environ 2,8 h. Au bout de trois heures environ, l'eau sort de l'intervalle toléré : le chauffage électrique reste nécessaire.
Les pièges à éviter
En Q2, donner 20 °C sans parler du sens du transfert ni de l'équilibre thermique ne suffit pas. En Q3, compter six faces au lieu de cinq, ou laisser l'épaisseur en millimètres, conduit à une valeur fausse ; le résultat obtenu, 4,5 × 10-2 °C/W, s'écrit tel quel puisque l'énoncé dit seulement « proche ». En Q6, il ne faut pas ajouter la puissance du chauffage, éteint à partir de t = 0. En Q9, se contenter de constater que θf est inférieure à 24 °C est insuffisant : cette valeur n'est atteinte qu'après plusieurs τ, il faut donc comparer la date de passage sous 24 °C à la durée d'une journée.
Conseils pour réussir
Écrivez toujours la phrase de bilan avant le calcul : une température constante signifie que la puissance reçue est égale à la puissance cédée. Vérifiez l'unité de τ : des kilogrammes, des joules par kilogramme et par degré, et des degrés par watt donnent bien des secondes. Si le logarithme vous bloque en Q9, calculez la température à une date choisie, par exemple à 8 h, où elle vaut déjà environ 22,3 °C. Le corrigé détaillé propose les deux méthodes et un graphique de l'évolution de la température.