Une petite histoire de la seconde : du pendule à l'horloge atomique

Cet exercice de 6 points du bac S de rattrapage 2011 en Polynésie retrace l'histoire de la mesure du temps en trois parties indépendantes : le pendule de Galilée au XVII^e siècle, l'horloge à quartz au XX^e siècle, puis la définition atomique de la seconde. Il mobilise la mécanique des oscillateurs, les oscillations électriques et la quantification de l'énergie des atomes.

Première partie : la seconde au XVII^e siècle

Les oscillations d'un pendule sont isochrones lorsque leur période ne dépend pas de l'amplitude, ce qui suppose une amplitude angulaire petite. Dans l'expression de la période propre, la grandeur ℓ désigne la longueur du pendule, mesurée du point de suspension jusqu'au centre d'inertie de la masse : répondre « la longueur du fil » est incomplet. Mesurer dix oscillations plutôt qu'une réduit l'incertitude relative due au déclenchement manuel du chronomètre.

Le tracé de T₀ en fonction de la racine carrée de ℓ donne des points alignés sur une droite passant par l'origine. Le coefficient directeur lu sur la droite vaut 2,0 s·m^-1/2, à comparer avec la valeur théorique 2π/√g = 2,01 s·m^-1/2 : l'expression de la période propre est vérifiée. Enfin, un pendule qui « bat la seconde » a une période de 2,00 s, car un aller dure une seconde : sa longueur vaut 0,994 m, soit environ 1 m. Prendre une période de 1 s conduirait à une longueur quatre fois trop courte.

Deuxième partie : la seconde au début du XX^e siècle

La courbe d'amplitude des oscillations du quartz en fonction de la fréquence imposée illustre le phénomène de résonance. La fréquence propre se lit à l'abscisse du maximum : f₀ = 32 768 Hz. La largeur de bande β, d'environ 1 Hz, donne un facteur de qualité de l'ordre de 3 × 10⁴, très supérieur à 10 : la résonance est aiguë et l'amortissement faible.

Le quartz est ensuite modélisé par un circuit RLC série. La décharge oscillante correspond à la figure 2.a, où la tension change de signe périodiquement. La résistance dissipe l'énergie par effet Joule : plus elle est grande, plus l'amplitude décroît vite, et au-delà d'une certaine valeur il n'y a plus d'oscillations. Avec la période propre T₀ = 2π√(LC), on retrouve f₀ = 3,277 × 10⁴ Hz, en accord avec la figure. Comme 32 768 = 2¹⁵, il faut diviser la fréquence par 2ⁿ avec n = 15 pour obtenir 1 Hz.

Troisième partie : la seconde atomique

Lors de la transition entre deux niveaux, l'énergie perdue par l'atome est emportée par un photon : E_p − E_n = hν. La définition de la seconde donne directement ν = 9 192 631 770 Hz, environ 9,19 × 10⁹ Hz. La variation d'énergie correspondante vaut 6,09 × 10^-24 J, soit 3,81 × 10^-5 eV après division par 1,60 × 10^-19.

Conseils

Cet exercice récompense la rigueur sur les définitions (isochronisme, longueur du pendule, période d'un aller-retour) et la méthode de validation d'une loi par une droite : vérifier la forme, puis la valeur du coefficient directeur. Attention aussi au sens de conversion entre joules et électronvolts. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les calculs, les pièges et les méthodes.