Deux oscillateurs, une même démarche

Ce troisième exercice du bac S 2003 Liban est le plus long de l'épreuve : 9 points, soit près de deux heures de travail conseillé. Il met en parallèle un oscillateur mécanique, un solide de 100 g relié à des ressorts sur une table à coussin d'air, et un oscillateur électrique, un condensateur qui se décharge dans une bobine, utilisé ici comme capteur d'humidité.

Partie A : l'oscillateur solide-ressort

La première question associe trois enregistrements à trois réglages de la soufflerie. Plus la soufflerie est puissante, plus les frottements sont faibles : l'enregistrement 3, d'amplitude constante, correspond à la puissance maximale et au régime périodique ; l'enregistrement 1, d'amplitude décroissante, à une puissance légèrement diminuée (pseudo-périodique) ; l'enregistrement 2, sans oscillation, à une puissance fortement diminuée (apériodique).

Sans frottement, le solide est soumis à son poids, à la réaction du support et à la force de rappel du ressort. Le poids et la réaction se compensent, et la projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe horizontal donne m d²x/dt² + kx = 0. Les conditions initiales fixent l'amplitude X_M = 10,0 cm et la phase à l'origine Φ₀ = 0. L'enregistrement 3 montre trois oscillations en 3,0 s, d'où T₀ = 1,0 s. L'analyse dimensionnelle élimine deux des trois expressions proposées et retient T₀ = 2π√(m/k), ce qui donne k ≈ 3,9 N/m.

La partie énergétique fait exprimer l'énergie potentielle élastique, l'énergie cinétique et leur somme. Sans frottement, l'énergie mécanique se conserve : à t = 0, elle vaut ½ k X_M², soit 2,0 × 10^-2 J, et la vitesse au passage par la position d'équilibre vaut 0,63 m/s. Sur le schéma des énergies, la droite horizontale est l'énergie mécanique, la courbe qui part de 0,02 J est l'énergie potentielle et celle qui part de 0 est l'énergie cinétique. En régime pseudo-périodique, les frottements dissipent de l'énergie et E diminue.

Partie B : le circuit LC et le capteur d'humidité

Avec une résistance non nulle, la tension aux bornes du condensateur présente un régime pseudo-périodique si R est faible et apériodique si R est grande. Pour R nulle, la loi d'additivité des tensions conduit à d²q/dt² + q/(LC) = 0. En reportant la solution proposée dans cette équation, on montre qu'elle convient à condition que T₀ = 2π√(LC). Avec T = 31,4 µs et L = 200 mH, on obtient C = 1,25 × 10^-10 F, soit 125 pF. La notice du capteur donne enfin a = 0,4 pF par % d'HR et b ≈ 105 pF, puis un taux d'humidité d'environ 50 %.

Pièges et conseils

Plusieurs erreurs coûtent cher : laisser l'amplitude en centimètres dans le calcul de l'énergie, oublier de convertir les microsecondes ou d'élever T au carré, ou arrondir b trop tôt, ce qui fausse nettement le taux d'humidité. Côté méthode, lisez une période sur plusieurs oscillations et appuyez-vous sur l'analogie entre les deux parties : la résistance joue le rôle des frottements et la charge celui de la position. Notez que l'oscillateur masse-ressort et les circuits avec bobine ne figurent plus au programme actuel de spécialité, alors que la deuxième loi de Newton, l'analyse dimensionnelle et l'énergie mécanique y restent.