Aspect énergétique d'un système solide-ressort

Ce deuxième exercice de 5,5 points du bac S 2010 Antilles-Guyane porte sur un grand classique de l'ancien programme : un mobile autoporteur relié à un ressort horizontal. Il mobilise la mécanique de Newton, le calcul du travail d'une force qui varie et l'analyse d'enregistrements. Les trois parties sont progressives : on établit l'équation du mouvement, on démontre l'expression de l'énergie potentielle élastique, puis on exploite des courbes expérimentales.

Partie 1 : de la deuxième loi de Newton à l'équation différentielle

Le mobile subit trois forces : son poids, la réaction du coussin d'air et la force de rappel du ressort, F = −k x i. Le piège de la question 1.1 est d'ajouter une force de lancement ou des frottements, que l'énoncé néglige. La méthode attendue suit toujours le même ordre : système, référentiel galiléen, bilan des forces, loi vectorielle, puis projection sur l'axe Ox. Les forces verticales disparaissent et l'on obtient d²x/dt² + (k/m) x = 0.

Pour vérifier la solution x = xM cos(√(k/m) t + φ), on dérive deux fois sans oublier le facteur √(k/m) qui sort à chaque dérivation. Les conditions initiales, lâcher sans vitesse depuis x0 = +4,0 cm, imposent φ = 0 et xM = 4,0 cm ; la valeur φ = π est écartée car elle donnerait une amplitude négative.

Partie 2 : travail d'une force variable et énergie potentielle élastique

La troisième loi de Newton donne la force de l'opérateur, Fop = k x i. Sa valeur augmente avec l'allongement : elle n'est pas constante, et la formule W = F × AB ne s'applique donc pas. C'est le cœur de l'exercice : on découpe le trajet en déplacements élémentaires, δW = k x dx, puis on intègre entre xA et xB. Le travail vaut ½ k xB² − ½ k xA², et en prenant l'énergie nulle pour le ressort au repos on retrouve Epe = ½ k x², où x est l'allongement et non la longueur du ressort.

Partie 3 : exploitation des enregistrements

Après les expressions de l'énergie cinétique et de l'énergie mécanique, on mesure la période sur deux enregistrements. Trois périodes durent 0,99 s, d'où T ≈ 0,33 s dans les deux cas : les frottements faibles du second enregistrement ne modifient pas la durée d'une oscillation, et la période propre vaut environ 0,33 s. Avec k = 15 N·m⁻¹, la relation T0 = 2π√(m/k) donne m = 4,1 × 10⁻² kg, soit 41 g. Sans calculatrice, il faut choisir l'aide au calcul où 0,33 est bien élevé au carré.

Reste à identifier les courbes d'énergie : celle qui part de zéro est l'énergie cinétique, celle qui part de son maximum est l'énergie potentielle élastique, et la courbe constante est l'énergie mécanique. Quand le tuyau d'air est pincé, les frottements dissipent peu à peu l'énergie mécanique sous forme de chaleur, ce qui explique la décroissance observée sur le dernier document.

Conseils pour réussir

Rédigez la deuxième loi de Newton en entier, même si le résultat est connu : ce sont les étapes qui rapportent les points. Mesurez toujours plusieurs périodes avant de diviser, pour réduire l'erreur de lecture. Justifiez chaque attribution de courbe par une propriété à t = 0 ou par la conservation de l'énergie.