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Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Ondes mécaniques
Sujet Bac Corrigé - GPS, satellites et horloges - Bac S Polynésie rattrapage 2004 (ancien programme) - Ex 1 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2004
Bac S (ancien programme)
Comment se repérer sur Terre grâce aux satellites et aux horloges ? Cet exercice de 9,5 points du Bac S 2004 Polynésie rattrapage en trois parties indépendantes.
- la deuxième loi de Newton appliquée à un satellite GPS : accélération, vitesse et période ;
- les ondes radio : longueurs d'onde, durée de propagation, précision des mesures et dispersion ;
- le pendule, l'analyse dimensionnelle et la précision de l'horloge de Harrison ;
- la distance parcourue sur le parallèle de Plymouth pour 15 s de dérive.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges et les méthodes à retenir.
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Le GPS, les satellites et les horloges
Cet exercice de 9,5 points, le plus long du bac S 2004 Polynésie rattrapage (ancien programme), suit un fil conducteur original : comment se repérer à la surface de la Terre. Il part des satellites du système GPS, passe par la propagation des ondes radio qu'ils émettent et se termine par l'histoire des horloges de marine. Les trois parties sont indépendantes, ce qui permet de ne pas rester bloqué. Les notions mobilisées sont la deuxième loi de Newton, le mouvement circulaire uniforme, la relation entre célérité, fréquence et longueur d'onde, la dispersion et l'analyse dimensionnelle.
Partie 1 : les satellites
Questions 1.1 et 1.2 : accélération et vitesse
Le satellite n'est soumis qu'à l'attraction gravitationnelle de la Terre, dirigée vers le centre O. La deuxième loi de Newton donne une accélération centripète de valeur G MT / (RT + h)². Dans le repère de Frenet, la composante tangentielle est nulle : la vitesse garde une valeur constante, le mouvement est uniforme. En identifiant la composante normale v² / (RT + h), on obtient v = √(G MT / (RT + h)). Le piège classique est d'oublier que la distance au centre est RT + h et non h.
Questions 1.3 et 1.4 : vérifier le texte
Avec un rayon d'orbite de 26 560 km, on trouve v = 3,88 × 10³ m/s, soit 1,40 × 10⁴ km/h, et une période de 4,31 × 10⁴ s, soit environ 12,0 h : les valeurs du texte sont confirmées. Il faut travailler en mètres puis convertir avec le facteur 3,6. Une période de 12 h, différente de 24 h, suffit à montrer que ces satellites ne sont pas géostationnaires.
Partie 2 : les ondes
Les longueurs d'onde dans le vide valent 0,19 m à 1,6 GHz et 0,25 m à 1,2 GHz. Le signal met environ 67 ms pour parcourir les 20 180 km. Une erreur de 20 m correspond à 67 ns, un million de fois moins : il faut des horloges extrêmement précises. Pour passer de 20 m à 20 cm, l'erreur doit être divisée par 100, donc N = 1,0 × 10⁴ mesures, soit 10 s : le piège est de répondre N = 100. Dans l'atmosphère, la fréquence ne change pas mais la longueur d'onde est modifiée ; la célérité qui dépend de la fréquence désigne la dispersion.
Partie 3 : les horloges
L'analyse dimensionnelle montre que √(l / g) est une durée. Pour une amplitude de 4°, convertie en radian (7,0 × 10⁻² rad), l'écart relatif sur la période n'est que de 3 × 10⁻⁴. Le rapport des périodes donne T2 = 2,001 s : l'horloge dérive dès que g change, d'où son inadaptation en mer. L'horloge de Harrison atteint une précision de 1,1 × 10⁻⁶. Sur le parallèle de Plymouth, de rayon r = RT cos 50° = 4,10 × 10³ km, les 15 s de dérive correspondent à 4,5 km.
Conseils
Soignez les conversions d'unités, gardez les valeurs non arrondies en mémoire et vérifiez le mode degrés de la calculatrice. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les calculs et les écrans de calculatrice.