La chute d'un ballon de baudruche lesté

Cet exercice de 5 points, prévu pour environ 1 h 05, est l'exercice II du bac S 2008 de Polynésie. Deux élèves filment la chute d'un ballon gonflé, lesté d'une bille, puis exploitent la vidéo avec un logiciel de pointage et un tableur. L'exercice fait établir l'équation différentielle du mouvement, la résoudre par la méthode d'Euler et interpréter l'allure de la courbe de vitesse. C'est un sujet très représentatif de la chute verticale avec frottement fluide.

Partie 1 : l'équation différentielle du mouvement

Le système subit trois forces : son poids P = M g vers le bas, la poussée d'Archimède Π = ρ V g vers le haut, égale au poids de l'air déplacé, et la force de frottement fluide f = k v_G² opposée au mouvement. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe vertical orienté vers le bas, donne M dv_G/dt = M g − ρ V g − k v_G². En divisant par M, on identifie A = g (1 − ρV/M) et B = k/M. L'application numérique donne A = 6,45 m·s^-2, qui a la dimension d'une accélération. Quand la vitesse limite est atteinte, la dérivée est nulle, d'où B = A/v_l² = 0,853 m^-1.

Partie 2 : la feuille de calculs du tableur

La règle de 1,00 m sert d'étalon : elle permet au logiciel de convertir les distances mesurées sur l'image en distances réelles. Elle doit être dans le même plan que la trajectoire. La vitesse expérimentale à t = 0,200 s s'obtient comme une vitesse moyenne entre les deux dates qui l'encadrent : (0,184 − 0,092)/(0,240 − 0,160) = 1,15 m·s^-1. La méthode d'Euler consiste à calculer la nouvelle vitesse à partir de l'ancienne et de l'accélération donnée par l'équation différentielle : v(t₆) = 1,00 + (6,45 − 0,853 × 1,00²) × 0,040 = 1,22 m·s^-1, une valeur compatible avec la mesure compte tenu de l'imprécision du pointage.

Partie 3 : la courbe v = f(t)

La courbe part de l'origine, croît de moins en moins vite et tend vers l'asymptote horizontale v = v_l = 2,75 m·s^-1. Le temps caractéristique τ est l'abscisse du point où la tangente à l'origine coupe cette asymptote ; on retrouve τ = v_l/A = 0,43 s. On distingue le régime transitoire, où la vitesse augmente, du régime permanent, où elle est constante. L'accélération étant la dérivée de la vitesse, elle se lit comme le coefficient directeur de la tangente : elle diminue pendant le régime transitoire et devient nulle en régime permanent, où le mouvement est rectiligne uniforme.

Les pièges à éviter

Le premier piège est d'oublier la poussée d'Archimède : elle est loin d'être négligeable pour un ballon dont le volume d'air déplacé pèse environ un tiers de sa masse. Dans le calcul de A, il faut exprimer ρV et M dans la même unité. Pour l'unité de B, n'oublie pas le carré sur la vitesse limite. Enfin, le temps caractéristique ne correspond pas à l'instant où la vitesse limite est atteinte.

Conseils de méthode

Suis toujours le même ordre : système, référentiel galiléen, bilan des forces, deuxième loi de Newton, projection sur un axe orienté. Pour la méthode d'Euler, écris la relation de récurrence avant de l'appliquer, et vérifie-la sur une ligne déjà remplie du tableau. Sur la courbe, nomme clairement les deux régimes et indique v_l et τ.