La viscosité du glycérol : une bille qui chute dans un fluide

Cet exercice de 5 points, prévu pour environ 1 h 05, étudie la chute verticale d'une bille d'acier dans un long tube rempli de glycérol. Il combine deux usages de la mécanique : le principe d'inertie, qui permet de mesurer une viscosité, et la deuxième loi de Newton, qui conduit à une équation différentielle. Deux graphiques sont à exploiter en annexe, ce qui demande des lectures soignées.

Partie 1 : les forces exercées sur la bille

L'axe y'y est orienté vers le bas : le poids s'écrit donc P = ρ_s V g j, sans signe moins. La poussée d'Archimède est opposée au poids d'un volume de glycérol égal à celui de la bille : F_A = −ρ_gly V g j. Le piège est d'utiliser la masse volumique de l'acier. La force de frottement, opposée à la vitesse, s'écrit f = −kηRv j. Le schéma attendu montre le poids vers le bas, la poussée et le frottement vers le haut.

Partie 2 : principe du viscosimètre

Entre les traits D et F, la vitesse est constante et vaut v_lim = L / Δt_ch. La justification de la relation P + F_A + f = 0 repose sur trois mots-clés : mouvement rectiligne uniforme, référentiel galiléen, principe d'inertie. En projetant cette relation et en remplaçant la vitesse limite, on obtient η = C(ρ_s − ρ_gly) Δt_ch avec C = gV / (kRL). L'application numérique donne η = 1,5 Pa·s. La lecture de la courbe de l'annexe indique alors une température d'environ 20 °C, et le corrigé montre la construction sur le graphique.

Partie 3 : étude du mouvement de chute

Le graphique v = f(t) montre un régime transitoire, où la vitesse augmente de moins en moins vite, puis un régime permanent à vitesse constante. On lit une vitesse limite d'environ 0,34 m/s et un temps caractéristique d'environ 0,04 s, grâce à la tangente à l'origine. L'accélération est le coefficient directeur de la tangente : maximale au départ, elle décroît puis s'annule. Il ne faut pas confondre une accélération qui diminue avec une bille qui ralentit.

La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe vertical puis divisée par la masse de la bille ρ_sV, donne dv/dt = A + Bv avec A = g(1 − ρ_gly/ρ_s) et B = −kηR/(ρ_sV). On calcule A = 8,24 m·s^-2, qui est aussi l'accélération initiale, puisque la vitesse est nulle à t = 0. Le rapport v_lim / a₀ redonne un temps caractéristique proche de 0,04 s, en accord avec la lecture graphique.

Conseils pour cet exercice

Fixez dès le début le sens de l'axe et tenez-vous-y pour tous les signes. Distinguez clairement la masse de la bille et celle du fluide déplacé. Pour les lectures graphiques, tracez les constructions sur l'annexe et donnez des valeurs cohérentes avec la précision du graphique. Enfin, vérifiez vos résultats entre eux : la relation entre vitesse limite, accélération initiale et temps caractéristique est un excellent contrôle.