Quatre facettes de la radioactivité

Cet exercice de 4 points, prévu pour environ 52 minutes, est l'exercice III du bac S 2008 de Polynésie. Il s'appuie sur des extraits de textes de vulgarisation et se découpe en quatre parties indépendantes : la désintégration bêta moins du potassium 40, la désintégration alpha du radium 226, l'unité historique qu'est le curie et la datation au carbone 14. Les questions sont classiques et rapides, ce qui en fait un excellent exercice de révision du chapitre sur les noyaux.

Partie 1 : la radioactivité bêta moins

Un noyau radioactif est un noyau instable qui se transforme spontanément en un autre noyau en émettant une particule, souvent accompagnée d'un rayonnement gamma. Le potassium 40 a pour numéro atomique Z = 19 : il contient 19 protons et 40 − 19 = 21 neutrons. Pour écrire l'équation, on applique les lois de conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge : l'électron emporte une charge −1, donc le noyau fils a Z = 20, c'est le calcium 40. La dernière question est un piège de vocabulaire : le calcium et le potassium n'ont pas le même numéro atomique, ce ne sont donc pas des isotopes.

Partie 2 : la radioactivité alpha

L'énergie libérée provient de la perte de masse : E = [m(Ra) − m(Rn) − m(He)] × c². La perte de masse vaut 5,22 × 10^-3 u ; convertie en kilogrammes, elle donne E = 7,80 × 10^-13 J, soit 4,88 MeV. Comparée à la valeur de 4,6 MeV du texte, l'écart relatif est de 6,1 %, bien inférieur aux 7 % annoncés. L'erreur la plus fréquente consiste à oublier de convertir l'unité de masse atomique en kilogrammes avant de multiplier par c².

Partie 3 : le curie

L'unité légale d'activité est le becquerel, qui correspond à une désintégration par seconde. Un curie, défini comme 37 milliards de désintégrations par seconde, vaut donc 3,7 × 10¹⁰ Bq. On retrouve cette valeur par le calcul : le nombre de noyaux d'un échantillon de masse m est N = m N_A/M, d'où A = λ m N_A/M. Pour un gramme de radium 226, l'application numérique donne 3,7 × 10¹⁰ Bq, en accord avec la définition. Il faut garder m en grammes avec M en g/mol, et λ en s^-1 pour obtenir des becquerels.

Partie 4 : corriger la datation

La loi de décroissance s'écrit A = A₀ e^−λt avec λ = ln 2 / t_1/2. En isolant l'activité initiale, on obtient A₀ = A e^{(ln 2 / t_1/2) t}. Pour un anneau de 1570 ans et une demi-vie de 5,73 × 10³ ans, A₀ = 1,21 A. Le rapport t/t_1/2 étant sans unité, aucune conversion en secondes n'est nécessaire.

Les pièges à éviter

Attention au signe dans l'exponentielle : l'activité à la mort de l'arbre est forcément plus grande que l'activité actuelle, l'exponentielle doit donc être supérieure à 1. Dans l'équation de désintégration, ne confonds pas le noyau fils avec l'argon, en ajoutant le changement de numéro atomique dans le mauvais sens. Enfin, garde trois chiffres significatifs, comme les données, dans le calcul de l'énergie.

Conseils de méthode

Écris toujours l'expression littérale avant l'application numérique, et vérifie l'homogénéité des unités. Pour un écart relatif, place la valeur de référence au dénominateur et exprime le résultat en pourcentage. Les quatre parties étant indépendantes, ne reste pas bloqué sur l'une d'elles.