Le satellite Giove-A et les lois de Kepler

Cet exercice du bac S Polynésie 2007, noté sur 5 points (environ 1 h 05), est un classique de la mécanique céleste. Il part du programme européen de radionavigation Galileo, dont le premier satellite, Giove-A, a été lancé fin 2005. On étudie son mouvement autour de la Terre, puis on le compare à d'autres satellites de positionnement pour mettre en évidence la troisième loi de Kepler.

Partie I : le mouvement du satellite

Le schéma demandé représente la Terre, la trajectoire circulaire et la force de gravitation appliquée au satellite, dirigée vers le centre de la Terre. Son expression vectorielle s'écrit avec le vecteur unitaire dirigé de O vers G : F = –G·M_T·m_sat/(R_T + h)²·u (en vecteurs). Le signe moins traduit l'attraction et la distance au carré est celle qui sépare les centres, et non l'altitude seule.

Le mouvement est décrit dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, ce qui est raisonnable sur la durée d'une révolution. La deuxième loi de Newton donne alors une accélération indépendante de la masse du satellite. On rappelle les caractéristiques de l'accélération dans un mouvement circulaire uniforme : radiale, centripète, de valeur v²/R. L'égalité des deux expressions conduit à v² = G·M_T/R.

La période de révolution se déduit de la longueur d'une orbite parcourue à vitesse constante : T = 2π√(R³/(G·M_T)). Avec R = R_T + h ≈ 2,998 × 10⁷ m, on trouve T ≈ 5,16 × 10⁴ s, soit environ 14 h 20 min. L'oubli de la conversion des kilomètres en mètres est ici le piège principal.

Partie II : comparaison avec d'autres satellites

On complète la ligne du tableau de l'annexe pour Galileo : R³ ≈ 2,69 × 10¹³ km³ et T² ≈ 2,67 × 10⁹ s². On place ce point sur le graphique, gradué en 10⁸ s², ce qui demande d'écrire l'ordonnée 26,7. Les quatre points s'alignent sur une droite passant par l'origine : T² est proportionnel à R³, avec un coefficient identique pour tous les satellites de la Terre.

Pour vérifier la cohérence avec la partie I, on compare le coefficient directeur de la droite, calculé avec le point Météosat, à la valeur théorique 4π²/(G·M_T). On obtient environ 9,87 × 10⁻¹⁴ et 9,90 × 10⁻¹⁴ s²·m⁻³, soit un écart de 0,3 %. Le corrigé insiste sur la conversion 1 km³ = 10⁹ m³. Cette loi est la troisième loi de Kepler, ou loi des périodes.

Pièges et conseils

Pour réussir ce type d'exercice, il faut toujours annoncer le système, le référentiel et le bilan des forces avant d'appliquer la deuxième loi de Newton. Il faut aussi justifier une proportionnalité par deux arguments, une droite et le passage par l'origine, et choisir un point éloigné de l'origine pour calculer un coefficient directeur. Enfin, la cohérence des unités est décisive dans tous les calculs de période.