Une bille qui tombe dans un liquide visqueux

Cet exercice du bac S 2009 Inde (Pondichéry), noté sur 4 points pour une durée conseillée de 52 minutes, étudie la chute verticale d'une bille d'acier dans une éprouvette remplie d'un liquide visqueux. Une webcam filme le mouvement à 25 images par seconde, un logiciel en tire les positions puis les vitesses, réunies dans l'enregistrement 1. L'exercice relie l'expérience au modèle : on lit une vitesse limite sur le graphique, on établit l'équation différentielle avec la deuxième loi de Newton, puis on compare le modèle à la mesure.

Partie 3.1 : exploiter l'enregistrement

Calcul des vitesses et vitesse limite

Le logiciel assimile la vitesse à la date t_i à la vitesse moyenne entre les deux dates qui l'encadrent : v_i = (x_i+1 − x_i−1) / (t_i+1 − t_i−1). Avec 25 images par seconde, deux images sont séparées de 0,040 s, donc l'intervalle utilisé vaut 0,080 s. Sur l'enregistrement, la vitesse augmente de moins en moins vite puis les points s'alignent sur une horizontale à partir de 0,3 s environ : la vitesse limite vaut V_L ≈ 0,59 m·s⁻¹. Le piège est de lire cette valeur sur un seul point : on trace l'horizontale qui passe au mieux par les derniers points.

Partie 3.2 : l'équation du mouvement

Bilan des forces et équation différentielle

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la bille subit trois forces : son poids vers le bas, la poussée d'Archimède vers le haut et la force de frottement fluide F = −k·v, opposée à la vitesse. La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe vertical orienté vers le bas donne dv/dt = −(k/m)·v + α·g, avec α = 1 − ρ'/ρ. L'oubli de la poussée d'Archimède, ou une erreur de signe dans la projection, est l'erreur la plus fréquente.

Vérifier la solution et retrouver la vitesse limite

Pour vérifier que v(t) = α·g·(m/k)·[1 − exp(−k·t/m)] est solution, on dérive, on remplace dans l'équation et on contrôle la condition initiale v(0) = 0. La vitesse limite s'obtient sans résoudre quoi que ce soit : en régime permanent dv/dt = 0, d'où V_L = α·g·m/k = 0,585 m·s⁻¹. L'écart avec la valeur lue est inférieur à 1 % : le modèle est en accord avec l'expérience. L'analyse dimensionnelle montre que m/k est un temps, égal à 6,58 × 10⁻² s : c'est le temps caractéristique du régime transitoire.

Partie 3.3 : le temps caractéristique sur l'enregistrement

D'après la solution, à la date τ = m/k la vitesse vaut V_L·(1 − e⁻¹), soit 0,63 × 0,59 = 0,37 m·s⁻¹. L'horizontale d'ordonnée 0,37 m·s⁻¹ coupe la courbe à l'abscisse τ ≈ 0,07 s, en accord avec m/k. Une autre méthode consiste à tracer la tangente à l'origine, qui coupe l'asymptote à la date τ, mais elle est moins précise ici car les points sont peu nombreux au départ. Annoncer τ avec trois chiffres serait excessif : la lecture tombe entre deux mesures espacées de 0,04 s.

Conseils pour réussir

Faites toujours un schéma des forces avant d'écrire la deuxième loi de Newton, et précisez l'orientation de l'axe. Pour une vitesse limite, pensez au réflexe dv/dt = 0. Enfin, comparez systématiquement modèle et mesure en calculant un écart relatif : c'est ce que le correcteur attend dans une question de conclusion.