Des ondes stationnaires sur une corde tendue

Cet exercice de 4 points était réservé aux candidats de l'enseignement de spécialité du bac S 2004 Polynésie, ancien programme. Une corde métallique verticale de 1,0 m, tendue par une masse marquée, est parcourue par un courant sinusoïdal de 50 Hz. Placée près d'un aimant en U, elle se met à vibrer et forme un ou plusieurs fuseaux. L'exercice relie la célérité des ondes à la tension de la corde et à sa masse linéique, grâce à la relation v = √(T/μ) fournie.

Les passages clés, question par question

Question 1 : la nature du phénomène

Les fuseaux sont stables et de même longueur : la vibration ne se déplace pas le long de la corde, certains points restent immobiles. Il s'agit d'un système d'ondes stationnaires. Le corrigé rappelle l'origine du phénomène : l'onde se réfléchit aux deux extrémités fixes et les ondes progressives de sens opposés se superposent.

Question 2 : le mode à un fuseau

Un fuseau correspond à une demi-longueur d'onde entre les deux extrémités : λ = 2L = 2,0 m. La corde vibre à la fréquence f du courant, donc v = λ f = 1,0 × 10² m/s. La masse marquée étant immobile, la tension de la corde est égale à son poids, T = M g. On en déduit la masse linéique μ = M g / v², puis la masse de la corde m = M g L / v² = 2 × 10⁻³ kg, soit 2 g. Le piège à éviter : confondre la masse m de la corde, qui intervient par la masse linéique, avec la masse suspendue M. Pour isoler une grandeur placée sous une racine, on élève d'abord la relation au carré.

Question 3 : obtenir plusieurs fuseaux

Avec n fuseaux, L = n λ / 2, donc v = 2 L f / n. À longueur et fréquence fixées, plus n est grand, plus la célérité doit être petite. Comme v = √(M g L / m), il faut diminuer la masse M. Avec un nombre impair de fuseaux, il y a autant de fuseaux de part et d'autre du fuseau central : le milieu de la corde vibre avec une amplitude maximale, c'est un ventre de vibration. Le corrigé insiste sur la distinction entre nœud, point immobile, et ventre, point d'amplitude maximale.

Question 4 : la masse divisée par quatre

Seule la masse suspendue change : la célérité, proportionnelle à la racine de M, est divisée par 2 et vaut 50 m/s. La fréquence étant inchangée, la nouvelle longueur d'onde est λ' = 1,0 m. Chaque fuseau mesure 0,50 m : on observe 2 fuseaux. Le milieu de la corde est alors un nœud. Un aimant placé à cet endroit agirait sur un point qui doit rester immobile : il faut le placer au niveau d'un ventre, au quart ou aux trois quarts de la corde, à 25 cm d'une extrémité.

Conseils

Retenez la condition L = n λ / 2 pour une corde fixée aux deux bouts et la relation entre la tension et la masse suspendue. Pour comparer deux situations, travaillez avec les rapports : diviser M par 4 divise v par 2. Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF.