Le haut-parleur, un oscillateur masse-ressort

Cet exercice de 4 points du bac S Nouvelle-Calédonie rattrapage 2010 modélise l'équipage mobile d'un haut-parleur de graves, appelé woofer, par un solide accroché à un ressort horizontal. Une première partie théorique établit l'équation du mouvement en l'absence de frottement, puis une partie expérimentale exploite un enregistrement pour déterminer la masse de l'équipage et la raideur de sa suspension. La calculatrice est interdite, une aide au calcul permet de prendre π² ≈ 10.

Partie 1 : étude théorique sans frottement

Le solide est soumis à trois forces : son poids, la réaction de la tige qui le compense, et la force de rappel du ressort, dirigée vers la position d'équilibre. Celle-ci s'écrit F = -k x i : le signe moins traduit le rappel. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe horizontal, donne directement l'équation différentielle d²x/dt² + (k/m) x = 0. La méthode attendue suit toujours le même ordre : système, référentiel, bilan des forces, relation vectorielle, projection. En dérivant deux fois la solution proposée et en la reportant dans l'équation, on obtient T₀ = 2π√(m/k). L'analyse dimensionnelle complète cette partie : k a la dimension M·T^-2, donc 2π√(m/k) est bien un temps.

Partie 2 : étude expérimentale

Après un coup sur le dôme, l'équipage est abandonné à lui-même : les oscillations sont libres et amorties, le régime est pseudo-périodique. L'amplitude décroît parce que les frottements dissipent l'énergie mécanique de l'oscillateur. Sur l'enregistrement, on compte 5 pseudo-périodes en 0,10 s, d'où T = 0,020 s et, pour un amortissement faible, f₀ = 50 Hz. L'ajout d'une masse additionnelle de 10 g abaisse la fréquence propre à 45 Hz : en formant le rapport des deux fréquences élevé au carré, k et 2π disparaissent et l'on démontre l'expression de m demandée, qui donne environ 43 g, valeur que le sujet arrondit à 40 g. On en déduit k = 4π² m f₀² = 4,0 × 10³ N·m^-1. Enfin, lorsqu'un GBF alimente le haut-parleur, les oscillations deviennent forcées : le GBF est l'excitateur, l'équipage mobile le résonateur. Quand la fréquence imposée approche f₀, l'amplitude devient maximale : c'est la résonance.

Pièges à éviter

Plusieurs erreurs reviennent souvent. Orienter la force de rappel dans le sens du déplacement au lieu de la diriger vers la position d'équilibre. Oublier le facteur 2π/T₀ qui sort à chaque dérivation. Laisser la masse en grammes dans le calcul de k, ce qui donne un résultat mille fois trop grand. Inverser le rapport des fréquences, alors qu'ajouter de la masse ralentit l'oscillateur. Dire enfin qu'à la résonance la fréquence augmente : c'est l'amplitude qui devient maximale, la fréquence restant celle du GBF.

Conseils

Mesurez toujours plusieurs pseudo-périodes avant de diviser, pour répartir l'erreur de lecture. Gardez en tête que l'unité N·m^-1 équivaut à kg·s^-2, ce qui permet de vérifier la cohérence avec l'analyse dimensionnelle de la première partie.