Un marteau, une plume et la Lune : la chute libre en 5,5 points

Cet exercice de mécanique du bac S de rattrapage 2011 aux Antilles-Guyane vaut 5,5 points, soit un peu plus d'une heure de travail. Il s'appuie sur l'expérience réalisée par l'astronaute de la mission Apollo 15, qui lâcha en même temps un marteau et une plume : sans air pour freiner la plume, les deux objets touchèrent le sol au même instant. L'exercice comporte trois parties : le vecteur champ de pesanteur lunaire, la durée de la chute, puis la modélisation d'un pas d'astronaute.

Partie 1 : le vecteur champ de pesanteur lunaire

Sur la Lune, il n'y a pas d'atmosphère : ni frottement, ni poussée d'Archimède. Chaque objet lâché n'est soumis qu'à son poids, qui s'écrit comme le produit de sa masse par le vecteur champ de pesanteur lunaire. La deuxième loi de Newton, appliquée dans le référentiel lunaire supposé galiléen, montre que l'accélération de chaque objet est égale à ce champ : elle est verticale, dirigée vers le sol, et ne dépend pas de la masse. Pensez à écrire les relations entre vecteurs, avec les flèches.

Il faut ensuite reconnaître la trajectoire : c'est le graphique 1, un segment vertical, car x reste nul pendant la chute. Le graphique 2, qui a l'allure d'une parabole, représente en réalité y en fonction du temps : c'est le piège principal de la question. Les coordonnées de l'accélération sont 0 et -g_L, l'axe des ordonnées étant orienté vers le haut. Par primitive et avec une vitesse initiale nulle, on obtient v_Mx = 0 et v_My = -g_L t, d'où une norme v_M = g_L t : une fonction linéaire du temps, en accord avec la droite passant par l'origine du graphique 3. Le coefficient directeur de cette droite donne g_L = 1,6 m.s^-2, environ six fois moins que sur Terre.

Partie 2 : la durée de la chute

Une nouvelle primitive donne l'équation horaire y(t) = -½ g_L t² + h, avec h = 1,50 m. Le marteau touche le sol quand y s'annule : la durée de la chute vaut environ 1,4 s, ce que confirme le graphique 2. Sur Terre, la même chute ne durerait qu'environ 0,55 s. La plume, soumise à la même accélération et lâchée dans les mêmes conditions, tombe pendant la même durée ; la phrase du texte le confirme : les deux objets s'enfoncent dans la poussière exactement au même instant.

Partie 3 : marcher sur la Lune

Le centre de gravité d'un astronaute qui marche est modélisé par un projectile lancé à 2,0 m.s^-1 sous un angle de 60°. En isolant le temps dans x(t) puis en le reportant dans y(t), on obtient une équation de la forme y = ax² + bx avec a négatif : une portion de parabole tournée vers le bas. La longueur du pas correspond à l'abscisse non nulle pour laquelle y redevient nul : d = 2v² cos²α tanα / g_L. L'application numérique donne d ≈ 2,1 m, compatible avec le graphique 4. Attention à la calculatrice : elle doit être en mode degrés.

Conseils pour réussir

Suivez toujours le même ordre : système, référentiel, bilan des forces, deuxième loi de Newton. Justifiez chaque constante d'intégration par une condition initiale et ne confondez jamais une trajectoire avec un graphique en fonction du temps. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec méthodes et pièges.