La tomographie par émission de positons : analyse du corrigé

Cet exercice de 4 points s'appuie sur un texte décrivant une technique d'imagerie médicale utilisant l'oxygène 15, émetteur de positons. Il couvre trois grands blocs du programme de physique nucléaire : la désintégration β⁺ et son bilan énergétique, la loi de décroissance radioactive, puis l'annihilation d'un positon avec un électron. Les calculs sont courts mais exigent rigueur sur les signes, les unités et les chiffres significatifs.

Partie 1 : la désintégration de l'oxygène 15

Le noyau contient 8 protons et 7 neutrons : on écrit donc Z = 8 et A = 15. Émetteur β⁺, il expulse un positon de nombre de charge +1 et de nombre de masse 0 ; les lois de conservation donnent un noyau fils de Z = 7 et A = 15, l'azote 15. Écrire un électron à la place du positon est l'erreur à éviter : on obtiendrait du fluor.

L'énergie de liaison est définie comme l'énergie à fournir à un noyau au repos pour le séparer en nucléons isolés et au repos. Le diagramme énergétique décompose ensuite la désintégration en trois étapes. ΔE₃ correspond à la formation du noyau d'azote 15 à partir de ses nucléons : c'est l'opposé de son énergie de liaison, soit −15 × 7,699 = −115,5 MeV. Le signe négatif est essentiel, la flèche descendant sur le diagramme.

ΔE₂ traduit la transformation d'un proton en neutron accompagnée de l'émission d'un positon. Elle vaut (mn + me − mp)·c², soit environ 1,8 MeV. Il faut garder toutes les décimales des masses avant de soustraire, et ne pas oublier la masse du positon. En sommant les trois étapes, avec ΔE₁ = 111,9 MeV, on obtient ΔE = −1,8 MeV : cette énergie est libérée par chaque désintégration.

Partie 2 : décroissance et intervalle entre deux injections

Après la définition de la demi-vie, on démontre λ = ln 2 / t½ en écrivant N(t½) = N₀/2 dans la loi N(t) = N₀·e^(−λt) puis en appliquant le logarithme népérien. Avec t½ = 123 s, λ ≈ 5,64 × 10⁻³ s⁻¹. La question 2.3 cherche la date à laquelle il ne reste que 5 % des noyaux : t₁ = −ln(0,05) × t½ / ln 2 ≈ 532 s, soit environ 9 minutes. Cette valeur, comprise entre 8 et 10 minutes, justifie l'espacement des injections indiqué dans le texte. Attention : 5 % désigne les noyaux restants, pas ceux qui se sont désintégrés.

Partie 3 : l'annihilation électron-positon

La rencontre d'un positon et d'un électron produit deux photons gamma. Toute la masse des deux particules est convertie en énergie, partagée également : chaque photon emporte me·c² ≈ 8,187 × 10⁻¹⁴ J, soit 511,1 keV, en accord avec les 511 keV du texte. Le passage des joules aux électronvolts se fait en divisant par 1,602 × 10⁻¹⁹.

Conseils pour réussir

Entraînez-vous à lire un diagramme énergétique en suivant le sens des flèches, convertissez systématiquement les masses en kilogrammes et les énergies en joules avant de revenir aux MeV, et vérifiez la cohérence d'une durée calculée : ici, un peu plus de quatre demi-vies. Ces réflexes rendent l'exercice rapide et sûr.