Un condensateur pour franchir les coupures de courant
Cet exercice de 5,5 points du bac S 2010 en Nouvelle-Calédonie, prévu pour environ 1 h 05, s'appuie sur le modélisme ferroviaire. Le dernier wagon d'un train miniature porte deux lampes de fin de convoi alimentées par les rails. Lors d'un soubresaut, le contact est rompu pendant environ 0,10 s : un condensateur de 1000 µF, chargé à travers un conducteur ohmique de 10 Ω, doit alors prendre le relais. L'exercice mobilise tout le chapitre du dipôle RC, de la charge à la décharge, puis compare lampes à incandescence et diodes électroluminescentes.
Partie 1.1 : le train roule sans soubresaut
Les questions qualitatives demandent de raisonner sur le circuit : les lampes, branchées directement aux bornes de l'alimentation, sont parcourues par un courant pendant la charge ; une fois le condensateur chargé, l'intensité dans sa branche est nulle. La loi des mailles et la loi d'Ohm donnent alors uC = E = 12 V. La constante de temps vaut τ = R0C = 1,0 × 10-2 s, et la charge est pratiquement terminée au bout de 5τ, soit quelques centièmes de seconde : le condensateur a largement le temps de se recharger entre deux coupures.
Partie 1.2 : la décharge pendant le soubresaut
Le circuit se réduit à une seule maille contenant le condensateur, le conducteur ohmique et les deux lampes, assimilées à des conducteurs ohmiques de 100 Ω. L'établissement de l'équation différentielle uC + (2R + R0)C duC/dt = 0 demande de soigner les conventions d'orientation. La vérification de la solution exponentielle fait apparaître une nouvelle constante de temps de 0,21 s, et la condition initiale donne A = E = 12 V. L'intensité, exprimée par dérivation, est négative à chaque instant : le courant circule en sens inverse de la flèche choisie, le condensateur jouant le rôle de générateur.
La puissance consommée par chaque lampe, proportionnelle au carré de l'intensité, décroît exponentiellement : seule la figure 6 de l'annexe convient, ce que confirme la valeur initiale de 0,33 W. La lecture graphique est ensuite tracée : l'éclairage n'est satisfaisant que tant que la puissance dépasse 0,27 W, soit pendant environ 0,02 s, bien moins que les 0,10 s du soubresaut. Les lampes ne restent donc pas correctement allumées.
Partie 2 : les diodes électroluminescentes
Une analyse dimensionnelle montre que l'expression proposée pour la durée d'éclairement est homogène à un temps : le logarithme d'un rapport d'intensités est sans dimension et le produit d'une résistance par une capacité est un temps. Avec une résistance de 1,5 kΩ, la durée d'éclairement atteint 1,7 s, largement supérieure à la durée du soubresaut : les diodes restent allumées.
Pièges et conseils
Le corrigé signale les erreurs les plus coûteuses : oublier de convertir les microfarads en farads, oublier l'une des deux lampes dans la loi des mailles, ou écrire la loi d'Ohm sans regarder le sens des flèches. Pour la puissance, il faut penser que le carré d'une exponentielle décroît deux fois plus vite. Retenez la méthode en quatre temps pour un circuit RC : loi des mailles, loi d'Ohm pour chaque conducteur, relation entre intensité et dérivée de la tension, puis expression en fonction de uC.