Mesurer la capacité d'un condensateur grâce au circuit RC

Cet exercice de 4 points, prévu pour environ 52 minutes, est le troisième exercice du sujet obligatoire du bac S 2008 de Pondichéry. Le cadre est celui d'une séance de travaux pratiques : un conducteur ohmique de résistance R = 150 Ω, un condensateur de capacité C inconnue et un générateur de tension E = 5,1 V. Un système d'acquisition enregistre la tension u_C(t) pendant la charge, et tout l'exercice consiste à remonter de cette courbe jusqu'à la valeur de C. C'est un classique du circuit RC, qui teste autant la rigueur des conventions que la lecture graphique.

Le montage et les branchements

La première question demande de placer la voie 1 et la référence. La tension u_C est fléchée du point T vers le point B, donc u_C = V_B − V_T : la voie 1 se relie en B et la référence, qui sert de masse, en T. Inverser les deux fils ferait enregistrer −u_C, une courbe négative. Retiens la règle : la pointe de la flèche tension désigne la borne à relier à la voie.

La constante de temps

Le sujet demande d'abord une estimation sans calcul. La méthode attendue consiste à tracer l'asymptote horizontale u_C = E et la tangente à l'origine : elles se coupent à l'abscisse t = τ, que l'on lit vers 15 ms. L'ordre de grandeur est donc 10 ms, soit 10⁻² s. Il ne faut pas confondre τ avec la durée de la charge : le palier n'est atteint que vers 70 ms, soit environ 5τ. On donne ensuite l'expression τ = RC, puis on vérifie son homogénéité. L'analyse dimensionnelle part de u = Ri et de i = C du_C/dt : elle donne [R] = [U]/[I] et [C] = [I][T]/[U], dont le produit est bien un temps.

L'équation différentielle

La partie 3.3 déroule la chaîne habituelle : loi d'additivité des tensions E = u_R + u_C, loi d'Ohm u_R = Ri en convention récepteur, puis i = dq/dt avec q = C u_C, d'où i = C du_C/dt. En remplaçant, on obtient τ du_C/dt + u_C = E avec τ = RC. Le corrigé insiste sur l'orientation du courant : i est dirigé vers l'armature qui porte la charge q, sinon un signe moins apparaîtrait.

La solution et la mesure de C

Vérifier que u_C(t) = E[1 − exp(−t/τ)] est solution ne demande pas de résoudre l'équation : on dérive, on remplace dans le premier membre et on retrouve E, puis on contrôle la condition initiale u_C(0) = 0. À t = τ, le rapport u_C/E vaut 1 − exp(−1) = 0,63. Cette propriété donne une lecture plus fiable que la tangente : 0,63 × 5,1 = 3,2 V, atteint pour τ = 15 ms. On en déduit C = τ/R = 1,0 × 10⁻⁴ F, soit 0,10 mF. Le piège classique est de laisser τ en millisecondes : le résultat serait alors mille fois trop grand.

Une autre mesure de C

La dernière question est ouverte. Le corrigé propose une charge à courant constant I₀ : la tension u_C = (I₀/C) t est alors une droite dont la pente donne C. L'étude de la décharge dans le conducteur ohmique ou l'emploi d'un capacimètre sont aussi acceptés.

Conseils

Soigne les flèches de tension avant toute équation, garde deux chiffres significatifs comme les données, et convertis toujours les durées en secondes avant de calculer une capacité.