Un compteur Geiger et le radon des sous-sols

L'exercice 1 du bac S Nouvelle-Calédonie 2007, noté sur 6,5 points (environ 1 h 18 conseillée), relie deux chapitres que l'on croit souvent éloignés : la charge d'un condensateur et la radioactivité. Le point de départ est le compteur Geiger-Müller, un tube rempli d'argon dont la paroi et le fil central forment un condensateur. La suite porte sur le radon 222, gaz radioactif issu de la famille de l'uranium 238 qui s'accumule dans les locaux mal ventilés. Les trois parties sont indépendantes et la calculatrice est interdite.

Partie 1 : le tube vu comme un circuit RC

On commence par placer la flèche de tension u_C en convention récepteur : elle est de sens opposé au courant, sa pointe est donc du côté de l'armature A par laquelle le courant arrive. Avec i = dq/dt, on montre qu'une fois le condensateur chargé, q ne varie plus et l'intensité est nulle. La tension aux bornes du conducteur ohmique est alors nulle, d'où u_C = U et Q = CU = 5,0 × 10^-9 C. L'armature reliée à la borne + du générateur, le fil, porte la charge +Q.

La condition τ = RC = 2Δt donne R = 2,0 × 10⁷ Ω, à condition de convertir Δt = 0,10 ms en secondes. On explique ensuite l'impulsion de décharge : les électrons créés par ionisation de l'argon sont attirés par le fil, la charge de l'anode diminue, donc u_C = q/C baisse brièvement, le temps que le générateur recharge le tube. Le passage de N électrons conduit à Δu_C = −Ne/C.

Partie 2 : la famille de l'uranium 238

Le noyau de radon 222 contient 86 protons et 136 neutrons. Les noyaux d'une même verticale de la figure 7 ont le même numéro atomique : ce sont des isotopes. Les équations de désintégration se vérifient par la conservation du nombre de nucléons et du nombre de charges : le radon 222 est émetteur α et le plomb 214 émetteur β⁻. La demi-vie du polonium 218 se lit sur la flèche qui part de ce noyau : 3,1 min, et non 3,8 j, valeur qui concerne le radon.

Une dizaine de minutes représente environ trois demi-vies du polonium 218 : le nombre de noyaux est divisé par 2 × 2 × 2 = 8. Le piège est de répondre 6 en multipliant 3 par 2. Les seuls émetteurs β⁻ qui contribuent à l'activité mesurée sont alors le plomb 214 et le bismuth 214.

Partie 3 : décroissance radioactive

Après avoir rappelé N(t) = N₀e^−λt, on dérive pour obtenir A(t) = λN(t). L'activité étant l'opposé du coefficient directeur de la tangente, la figure 8 permet de comparer sans calcul : l'activité du plomb 214 est plus faible à 50 min qu'à 25 min. Au point d'ordonnée N₀/2, la tangente à la courbe du bismuth 214 est plus inclinée, donc λ_Bi > λ_Pb, ce qui est cohérent avec les demi-vies de 20 min et 27 min.

Sur la figure 9, la courbe qui part de zéro, passe par un maximum puis décroît est celle du bismuth 214, noyau fils ; la courbe qui décroît dès le début est celle du plomb 214. Seule l'équation dN_Bi/dt = λ_PbN_Pb − λ_BiN_Bi permet une phase croissante.

Conseils pour réussir

Soignez les conversions d'unités, justifiez chaque lecture graphique en parlant de tangente, et vérifiez toujours les deux lois de conservation dans une équation nucléaire. Le corrigé détaille chaque question avec ses pièges et ses méthodes.