Le carbone 14 pour dater des séismes

L'exercice 3 du bac S Nouvelle-Calédonie 2005 utilise la radioactivité du carbone 14 pour dater des tremblements de terre survenus près de la faille de San Andreas, en Californie. Noté sur 5,5 points, soit environ 1 h 05, il comporte trois parties : la radioactivité naturelle du carbone et les bilans d'énergie, la loi de décroissance, puis l'application à des échantillons végétaux enfouis lors des séismes.

Noyaux, désintégration et énergie

Le carbone 12 compte 6 protons et 6 neutrons, le carbone 14 compte 6 protons et 8 neutrons : même numéro atomique, nombres de masse différents, ce sont des isotopes. L'équation de la désintégration β^- s'obtient avec les lois de conservation du nombre de nucléons et de la charge électrique : le noyau fils est l'azote 14.

Le défaut de masse du carbone 14 vaut 1,767 × 10^-28 kg, d'où une énergie de liaison de 1,589 × 10^-11 J et une énergie de liaison par nucléon de 1,135 × 10^-12 J. L'énergie libérée par la désintégration se calcule à partir de la perte de masse, qui vaut 4,789 × 10^-30 kg, soit 4,3 × 10^-13 J. Le piège est d'oublier la masse de l'électron émis, qui représente environ 16 % de cette perte de masse. Autre conseil : ne pas arrondir les masses avant la soustraction, car le défaut de masse est une petite différence entre deux grands nombres.

La loi de décroissance

La loi de décroissance s'écrit N(t) = N₀e^-λt. Le temps de demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents se sont désintégrés ; on en déduit t_1/2 = ln 2 / λ en prenant le logarithme népérien. Avec t_1/2 = 5,70 × 10³ ans, la constante radioactive vaut 1,22 × 10^-4 an^-1. Il est inutile de convertir en secondes, puisque les durées de la suite sont demandées en années. L'activité, nombre de désintégrations par seconde, s'exprime en becquerels, et le rapport A(t)/A₀ suit la même exponentielle que N(t)/N₀.

Dater les séismes de la faille

Pour l'échantillon 3, d'activité 0,223 SI contre 0,255 SI pour un végétal vivant, la durée écoulée vaut t₃ = (t_1/2/ln 2) × ln(A₀/A) ≈ 1,10 × 10³ ans. Le piège est d'inverser le rapport dans le logarithme, ce qui donne une durée négative. La mesure ayant eu lieu en 1989, le séisme date d'environ 890. La dernière question se traite sans calcul : plus l'échantillon est ancien, plus son activité est faible. L'échantillon 2, le moins actif, correspond à l'an 586 et l'échantillon 1, le plus actif, à l'an 1247, ce qui encadre bien la date trouvée pour l'échantillon 3.

Conseils

Écrivez les lois de conservation avant de compléter une équation nucléaire, gardez des valeurs non arrondies dans les calculs de masses et vérifiez la cohérence des dates obtenues avec l'ordre des activités.