Mission sur Mars : mécanique, nucléaire et électrolyse dans un même exercice

L'exercice 2 du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2006 (ancien programme), noté sur 7 points avec une durée conseillée d'environ 1 h 31, est le plus lourd de l'épreuve. Il s'articule autour d'une mission d'exploration humaine de Mars, en trois parties indépendantes : la mise en orbite d'un relais, la production d'énergie par fusion et la fabrication de dioxygène.

Partie 1 : le mouvement de Phobos

Accélération et deuxième loi de Newton

Un mouvement circulaire uniforme a une vitesse de valeur constante, mais le vecteur vitesse change de direction : il y a donc une accélération, dirigée de Phobos vers le centre de Mars et de valeur a = v²/r. Dans le référentiel centré sur Mars, la seule force est l'attraction gravitationnelle ; la deuxième loi de Newton donne a = G m_M/r², et la masse de Phobos se simplifie, ce qui explique que l'énoncé ne la donne pas. On en déduit v = √(G m_M/r).

Troisième loi de Kepler et période

Avec v = 2πr/T_P, on obtient T_P²/r³ = 4π²/(G m_M) = 9,22 × 10⁻¹³ s²·m⁻³. Le piège de la question suivante est de laisser r en kilomètres : avec r = 9,38 × 10⁶ m, on trouve T_P = 2,76 × 10⁴ s, soit environ 7 h 40 min.

Un satellite immobile pour la base

Pour rester à la verticale d'un même point du sol, le satellite doit décrire un cercle dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation de Mars, et ce plan doit contenir le centre de Mars : c'est le plan de l'équateur, avec un mouvement dans le même sens que la rotation de la planète. Sa période est celle de la rotation de Mars, 24 h 37 min, soit 8,862 × 10⁴ s.

Partie 2 : la fusion deutérium-tritium

Des isotopes ont le même nombre de protons mais des nombres de neutrons différents. La courbe d'Aston montre que l'hélium 4 est bien plus stable que le deutérium et le tritium : en passant à un noyau plus lié, le système libère de l'énergie. Le défaut de masse vaut Δm = −0,01886 u ; le signe négatif traduit une perte de masse. Avec E = Δm c², après conversion en kilogrammes, on trouve E = −2,81 × 10⁻¹² J par noyau d'hélium formé. Dans 100 g de deutérium, il y a 2,99 × 10²⁵ noyaux, d'où une énergie libérée de l'ordre de −8,40 × 10¹³ J. L'oubli du carré de c ou de la conversion des unités de masse est l'erreur la plus fréquente.

Partie 3 : fabriquer du dioxygène par électrolyse

Sur le schéma de l'annexe, l'électrode reliée à la borne positive est le siège de l'oxydation de l'eau en dioxygène : c'est l'anode ; l'autre est la cathode, où se produit la réduction en dihydrogène. L'électrolyse est une transformation forcée, qui n'a lieu que grâce à l'énergie fournie par le générateur. En une heure, les poumons reçoivent 18 L de dioxygène, soit 0,72 mol. La demi-équation à l'anode montre que 4 moles d'électrons sont échangées par mole de dioxygène : n_e = 2,88 mol. Le piège est d'utiliser la demi-équation de la cathode, qui concerne le dihydrogène. On en déduit Q = 2,78 × 10⁵ C, I = 77,2 A en exprimant la durée en secondes, puis E_el = 1,39 × 10⁶ J sous 5,00 V.

Conseils

Les trois parties étant indépendantes, ne restez pas bloqué sur l'une d'elles. Vérifiez systématiquement les unités avant tout calcul numérique : kilomètres, unités de masse atomique et heures sont les trois sources d'erreur de cet exercice.