Circuits RL et RLC : l'exercice 3 du Bac S 2003 Nouvelle-Calédonie

Avec 6,5 points, cet exercice d'électricité est le plus lourd de l'épreuve et mérite environ 1 h 18. Il se traite sans calculatrice. L'objectif est de retrouver expérimentalement l'inductance d'une bobine et la capacité d'un condensateur, puis de les comparer aux indications du fabricant : L = 1,0 H et C = 10 microfarads. Le parcours passe par l'établissement du courant dans un circuit RL, sa modélisation, une résolution numérique par la méthode d'Euler et l'étude d'un circuit oscillant.

Partie 1 : étude expérimentale du circuit RL

La courbe enregistrée représente la tension uR = VA - VB, qui est positive : il faut relier la borne V au point A et la borne COM au point B. Inverser les bornes donnerait une courbe négative. Comme i = uR / R, l'intensité a la même allure que uR : elle part de zéro, croît puis se stabilise, c'est la courbe c. La bobine s'oppose aux variations de l'intensité et retarde donc l'établissement du courant, avec ici un régime transitoire d'environ 5 ms.

Partie 2 : modélisation et équation différentielle

La loi d'additivité des tensions, avec uL = L di/dt et i = uR / R, conduit à E = uR + (L/R) duR/dt. L'analyse dimensionnelle montre que L/R a la dimension d'un temps. Sur la figure 2, la tension maximale vaut 10 V ; le point d'ordonnée 6,3 V a pour abscisse 1,0 ms, d'où tau = 1,0 x 10^-3 s. On en déduit L = tau R = 1,0 H, en accord avec le fabricant. Le piège consiste à garder tau en millisecondes ou R en kilohms : convertir en secondes et en ohms évite toute erreur de puissance de dix.

Partie 3 : la méthode d'Euler

L'équation différentielle donne duR/dt = (R/L)(E - uR), soit 1,0 x 10^3 x (10 - uR) en volts par seconde. Avec un pas de 1,0 x 10^-4 s, la dérivée initiale vaut 1,0 x 10^4 V/s, d'où uR = 1,0 V à la date du premier pas. La dérivée recalculée vaut alors 9,0 x 10^3 V/s, et uR = 1,9 V au second pas. Garder la dérivée initiale donnerait 2,0 V : il faut la recalculer à chaque pas. Enfin, augmenter le pas augmente l'écart entre les points calculés et la courbe expérimentale, car la méthode suppose la dérivée constante pendant tout le pas.

Partie 4 : le circuit oscillant

L'amplitude des oscillations diminue parce que la résistance de la bobine, 10 ohms, dissipe de l'énergie par effet Joule : le régime est pseudo-périodique. On compte cinq pseudo-périodes en 100 ms, donc T = 20 ms. En assimilant pseudo-période et période propre, T = 2 pi racine de LC donne C = T² / (4 pi² L) = 1,0 x 10^-5 F, soit 10 microfarads, en accord avec l'indication du fabricant. Oublier d'élever 2 pi au carré ou garder T en millisecondes fausse le résultat d'un facteur considérable.

Conseils pour réussir

Sans calculatrice, posez les puissances de dix séparément et profitez de l'approximation pi² voisin de 10 fournie par l'énoncé. Pour le tableau d'Euler, remplissez chaque ligne en deux temps : la nouvelle tension avec la dérivée précédente, puis la nouvelle dérivée. Le corrigé détaillé présente l'annexe complétée et les lectures graphiques commentées.