La nuit du 21 juin 1822 : mesurer la vitesse du son

Cet exercice de 5,5 points du bac S Métropole rattrapage 2010 part d'une expérience historique : deux stations distantes de 9 549,6 toises, Villejuif et Montlhéry, échangent des coups de canon pour mesurer la célérité du son dans l'air. Il confronte ensuite cette mesure à un modèle théorique, dont un coefficient est déterminé grâce à un piston qui oscille comme un système solide-ressort. Il mobilise les ondes mécaniques, la deuxième loi de Newton et l'oscillateur élastique, sans calculatrice.

Partie 1 : la mesure historique

Une onde mécanique est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, avec transport d'énergie mais sans transport de matière. Le son est longitudinal : les tranches d'air se déplacent dans la direction de propagation. Deux ondes qui se croisent ne se heurtent pas : la célérité est inchangée. Pour la distance, il faut multiplier par 1,949 m, ce qui donne d = 18 612 m ; avec une durée moyenne de 54,6 s, on obtient v_exp = 341 m·s^-1. Le texte relève la température et précise que les tirs sont réciproques pour que le vent ne fausse pas les résultats : la célérité dépend de la température de l'air et du vent. La durée de trajet de la lumière, de l'ordre de 6 × 10^-5 s, est négligeable devant 54,6 s.

Partie 2 : le dispositif de Rüchardt

Le piston subit son poids, seule interaction à distance, la réaction du support et les forces pressantes de l'air intérieur et extérieur, qui sont des actions de contact. La résultante F = -kx i est toujours dirigée vers la position d'équilibre et proportionnelle à l'écart : c'est une force de rappel. La deuxième loi de Newton, énoncée dans un référentiel galiléen, conduit en projection sur Ox à d²x/dt² + (k/m)x = 0. Par identification avec l'équation de l'énoncé, k = 4π²f₀²m, puis en égalant les deux expressions de k on retrouve celle de γ. Le piège de l'application numérique est de laisser la masse en grammes ou la température en degrés Celsius : il faut m = 14,8 × 10^-3 kg et T₀ = 289,0 K pour trouver γ = 1,4.

Partie 3 : cohérence du modèle

Le modèle donne v_théo = 3,4 × 10² m·s^-1, en regroupant les puissances de dix pour utiliser les aides au calcul. L'écart avec 341 m·s^-1 est d'environ 0,3 % : le modèle est en accord avec la mesure de 1822. Comme la célérité est proportionnelle à la racine carrée de la température absolue, elle serait plus petite en hiver, à 0 °C.

Conseils pour réussir

Soigne les conversions d'unités, précise toujours le référentiel galiléen avant d'appliquer la deuxième loi de Newton et compare deux valeurs avec le même nombre de chiffres significatifs. Le corrigé détaillé explique chaque étape avec les méthodes à retenir.