Le plongeon de haut vol, du saut à la remontée

Cet exercice de mécanique de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, étudie le mouvement du centre d'inertie G d'un plongeur de 70,0 kg lors des championnats du monde de natation de 2003. La première partie traite le saut dans l'air par l'énergie, la seconde le mouvement vertical dans l'eau, avec frottement fluide, poussée d'Archimède et méthode d'Euler. Dans le sujet officiel, cet exercice porte le numéro II.

Partie 1 : le saut du plongeur

Altitude au sommet

Sur la figure 7, l'énergie potentielle de pesanteur passe par un maximum d'environ 3,45 kJ vers 400 ms. Avec Epp = m·g·y, on obtient yS ≈ 5,0 m. Le piège est de lire l'axe en kilojoules sans convertir en joules, ce qui donne une altitude mille fois trop petite.

Conservation de l'énergie mécanique

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur. L'action de l'air étant négligée, le poids est la seule force qui travaille : l'énergie mécanique se conserve pendant le saut. En l'écrivant au départ puis à l'instant où les mains touchent l'eau, G étant encore à 1,0 m au-dessus de la surface, on obtient Ec(t1) ≈ 2,6 × 10³ J, puis v1 ≈ 8,6 m·s⁻¹. Le corrigé souligne que cette vitesse ne dépend ni de la masse ni de la direction de la vitesse initiale.

Partie 2 : le mouvement dans l'eau

Lecture de la figure 8

À t = 1,0 s, le centre d'inertie est à environ 1,9 m de profondeur ; les mains, 1,0 m plus bas, sont vers 2,9 m, moins que les 5,0 m du bassin : elles ne touchent pas le fond quand le plongeur amorce sa remontée.

Forces et équation différentielle

Pendant la descente, trois forces verticales s'exercent : le poids vers le bas, la poussée d'Archimède et la force de frottement fluide vers le haut, cette dernière s'opposant à la vitesse. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe vertical orienté vers le haut conduit à l'équation donnée par l'énoncé. Le signe de chaque projection se lit sur le schéma, et le terme en vy² change de signe selon le sens du mouvement.

Vitesse limite et méthode d'Euler

En régime permanent, la dérivée de la vitesse est nulle, ce qui donne vp = √(g(m − ρV)/k) ≈ 0,57 m·s⁻¹. La différence m − ρV = 5,0 kg limite la précision à deux chiffres significatifs. La figure 8 montre une partie rectiligne vers t ≈ 3 s, avant que les mains n'atteignent le fond vers 3,6 s : le régime permanent est atteint. Enfin, la méthode d'Euler complète le tableau : vy(tn+1) = −2,09 m·s⁻¹ puis ay(tn+1) = 8,65 m·s⁻². Il faut utiliser l'accélération de la ligne précédente.

Conseils

Préciser le système et le référentiel, faire un schéma des forces avant toute projection et contrôler le signe des grandeurs algébriques : la vitesse est négative pendant la descente, même lorsqu'elle augmente.