Des lois de Kepler à l'étude d'un astéroïde : la mécanique céleste pas à pas

Cet exercice de 4 points du sujet de rattrapage de Métropole 2007 rend hommage à Kepler avant d'utiliser ses lois pour étudier l'astéroïde Rhea Sylvia et ses deux satellites, Remus et Romulus. Il porte sur les lois de Kepler, la loi de gravitation universelle, la deuxième loi de Newton et le mouvement circulaire uniforme. Comptez environ 52 minutes.

Partie 1 : planètes en orbite elliptique puis circulaire

La première loi de Kepler place le Soleil en un foyer de l'ellipse, ici F1, et non au centre. La loi des aires montre que les deux aires hachurées, balayées pendant des durées égales, sont égales. On en déduit que la vitesse moyenne est plus faible loin du Soleil, entre M1 et M'1, que près du Soleil, entre M2 et M'2 : sur une même durée, l'arc parcouru est plus court.

Dans le modèle circulaire, la force de gravitation s'applique sur la planète et pointe vers le Soleil. Son expression vectorielle porte un signe moins qui traduit le caractère attractif de la force, de sens contraire au vecteur unitaire. La deuxième loi de Newton, appliquée dans le référentiel héliocentrique, donne une accélération indépendante de la masse de la planète, dirigée vers le Soleil et de valeur constante sur l'orbite. Les vecteurs accélération en deux points doivent donc avoir la même longueur. L'absence de composante tangentielle de l'accélération prouve que le mouvement est circulaire uniforme : le vecteur accélération lui-même n'est pas constant, car sa direction change.

Le graphe de T² en fonction de r³ est une droite passant par l'origine, en accord avec la troisième loi de Kepler. Sa pente, lue sur un point de la droite, vaut 3,0 × 10⁻¹⁹ s²·m⁻³, à condition de ne pas oublier les puissances de dix des axes. Avec la période de Rhea Sylvia convertie en secondes, on obtient une distance au Soleil d'environ 5,2 × 10¹¹ m, soit environ 520 millions de kilomètres.

Partie 2 : la troisième loi de Kepler comme balance cosmique

Pour les satellites de Rhea Sylvia, il faut identifier chaque grandeur de la relation T²/r³ = 4π²/(GM) : M est la masse de l'astre central, ici l'astéroïde, et non celle du satellite. L'analyse dimensionnelle donne l'unité de G, le m³·kg⁻¹·s⁻². Enfin, avec la période et le rayon de l'orbite de Romulus convertis en secondes et en mètres, on obtient une masse de 1,50 × 10¹⁹ kg. Une erreur sur les kilomètres serait multipliée par 10⁹ à cause du cube.

Les conseils

Annonce toujours le système et le référentiel avant d'appliquer la deuxième loi de Newton, vérifie les unités avant chaque application numérique et soigne les représentations vectorielles. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la rédaction attendue, les figures complétées et les pièges signalés.