Lancer une bille pour déclencher une cascade de dominos

Ce troisième exercice de 4 points, prévu pour environ 52 minutes, termine la partie commune du sujet de rattrapage du bac S 2009 Antilles-Guyane. Une bille de 60 g doit quitter un support en O et atteindre le point M, au pied du premier domino. L'exercice détermine d'abord la vitesse de lancement nécessaire, puis compare deux solutions techniques pour l'obtenir : un plan incliné et un petit canon à ressort.

Partie 1 : équation de la trajectoire

Entre O et M, la bille n'est soumise qu'à son poids : c'est une chute libre. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la deuxième loi de Newton donne directement un vecteur accélération égal au vecteur champ de pesanteur, quelle que soit la masse de la bille. À partir des coordonnées de la vitesse, on cherche les primitives et on détermine les constantes avec la position initiale : x(t) = v0 t et y(t) = -g t²/2. En éliminant le temps, on obtient l'équation de la trajectoire, une portion de parabole.

La question 1.4 demande la vitesse initiale pour atteindre M, avec xM = 0,40 m et yM = -0,20 m. Le piège est le signe : l'axe vertical est orienté vers le haut et M est sous O, donc yM est négatif. Avec une valeur positive, on chercherait la racine d'un nombre négatif. Le calcul donne v0 = 2,0 m/s.

Partie 2.1 : utilisation d'un plan incliné

La bille est lâchée sans vitesse en A, en haut d'un plan très lisse. Avec l'origine des énergies potentielles en O, l'énergie mécanique vaut m g yA en A et m v²/2 en B. La réaction du plan, perpendiculaire au déplacement, ne travaille pas : seul le poids, force conservative, travaille, et l'énergie mécanique se conserve. Il faut écrire cette justification avant d'égaler les deux énergies. On obtient yA = v0²/(2g) = 0,20 m : la masse et l'inclinaison n'interviennent pas.

Partie 2.2 : utilisation d'un canon à bille

La force de rappel du ressort s'écrit -k x selon l'axe, et la force de l'opérateur lui est opposée. Le passage le plus exigeant est la question 2.2.3 : la force de l'opérateur varie avec x, on ne peut donc pas multiplier une force par un déplacement. Il faut sommer des travaux élémentaires, ce qui donne une intégrale égale à k xC²/2. Appliquer la formule d'une force constante avec la force finale donnerait le double du bon résultat.

Ce travail est stocké sous forme d'énergie potentielle élastique, puis entièrement restitué à la bille sous forme d'énergie cinétique. On en déduit xC = -v0 √(m/k), la racine négative étant retenue car le point C est à gauche de O. L'application numérique impose de convertir la masse en kilogrammes : xC = -6,9 × 10^-2 m, soit une compression d'environ 7 cm.

Conseils

Présentez toujours le système, le référentiel et le bilan des forces avant d'appliquer la deuxième loi de Newton. Surveillez les signes des coordonnées par rapport à l'orientation des axes. Enfin, retenez qu'une force variable impose un calcul de travail par intégration.